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THEMA: Prinzip der minimalen Wirkung

Prinzip der minimalen Wirkung 27 01. 2020 22:07 #64508

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage bezüglich des Prinzips der kleinsten Wirkung. Im Buch lese ich den folgenden kurzen Abschnitt:

"Mit diesem Ergebnis wird klar, welches Potential in dem Lagrange-Formalismus bzw. in dem Prinzip der kleinsten Wirkung steckt: Alles, was sich Galilei und Newton in mühevollen Versuchen und Berechnungen erarbeiten mussten, liefert uns das Prinzip der kleinsten Wirkung sozusagen frei Haus! Und das Großartige daran: Alles ergibt sich, ohne dass wir vor allen Berechnungen etwas über die beteiligten Kräfte wissen müssen."

Jetzt wird im Lagrange-Formalismus aber doch die potentielle Energie benötigt. Ich kann da gerade nicht erkennen wo da der Vorteil sein soll, bzw. warum das so großartig ist. Denn wenn ich die potentielle Energie habe, habe ich doch eigentlich (druch Ableiten) auch die Kräfte.

Kann jemand versuchen, mir die Vorteile dieses Prinzips (in der klassischen Mechanik) zu erklären?

Vielen Dank,

Christian

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Prinzip der minimalen Wirkung 27 01. 2020 22:29 #64511

Naja, der Lagrange- Formalismus unterscheidet sich doch vom Energieerhaltungssatz nur dadurch, dass es nich heißt: E kin + Epot = konstant, sondern L = Ekin - Epot. Das Minuszeichen ist das Entscheidende!
Insofern kann man vielleicht anschaulich so formulieren, dass ein Teilchen auf einer Flugbahn ein Optimum sucht zwischen Ekin und Epot.

Diese Aufgabe des Teilchens, hier für sich selber ständig das Optimum zu finden, hat man das Prinzip der minimalen Wirkung genannt.

Umgangssprachlich würde ich sagen, die Natur spart, wo sie nur kann.

Wenn man das nur unter energetischen Verhältnissen betrachtet, dann beschreibt die Lagrangefunktion das richtig.

Nimmt man die Zeit in den Beschreibungsformalismus hinzu, gelangt man zum Prinzip der minimalen Eigenzeit. Siehe die zugehörigen Videos aus der Reihe AzS.

Dieses Abstraktionsniveau ist das faszinierende!

Thomas

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 14:10 #64549

mrtlbrmpf schrieb:
Jetzt wird im Lagrange-Formalismus aber doch die potentielle Energie benötigt. Ich kann da gerade nicht erkennen wo da der Vorteil sein soll, bzw. warum das so großartig ist. Denn wenn ich die potentielle Energie habe, habe ich doch eigentlich (druch Ableiten) auch die Kräfte.

Ich glaube Du verwechselst potentielle Energie und Potential. Das Potential ist eine Rechengröße aus der man "durch Ableiten" gegen den Ort den Gradient und damit die Kraft erhält.

Das Potential hat in der Elektrik z.B. die Einheit einer Spannung - also Volt - nicht einer Energie.

Die potentielle Energie bezieht sich immer auf einen Körper in einem Potential. Das Potential ist von dem Körper unabhängig.

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Letzte Änderung: von Manfred S. Begründung: Rechtschreibung (Notfallmeldung) an den Administrator

Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 14:32 #64551

Manfred S schrieb: Ich glaube Du verwechselst potentielle Energie und Potential.

Wenn man einen Körper im Gravitationsfeld beobachtet, ist es egal, ob man vom Potential oder von der potentiellen Energie spricht, weil die Masse ja nur ein konstanter Faktor ist:
Φ = V/m
In der Elektrodynamik ist hingegen die Ladung Q der fragliche Faktor, das ist richtig.
U = V/Q
Aber auch hier ist die Ladung ja nur ein konstanter Faktor.

Tatsächlich wird nach Lagrange die Energie also die pot.Energie V berechnet, wie mrtlbrmpf ja sagte.

Aber vermutlich hast Du den Satz "welches Potential in dem Lagrange-Formalismus bzw. in dem Prinzip der kleinsten Wirkung steckt" missverstanden, dabei geht es mrtlbrmpf um den Vorteil (Potential) des Formalismus.

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 14:37 #64552

ra-raisch schrieb: Wenn man einen Körper im Gravitationsfeld beobachtet, ist es egal, ob man vom Potential oder von der potentiellen Energie spricht, weil die Masse ja nur ein konstanter Faktor ist:
Φ = V/m
In der Elektrodynamik ist hingegen die Ladung Q der fragliche Faktor, das ist richtig.
U = V/Q
Aber auch hier ist die Ladung ja nur ein konstanter Faktor.

Das verstehe ich nicht. Die potentielle Energie ist proportional zur Masse bzw. Ladung des Körpers im Feld. Damit ist seine Masse/Ladung doch kein konstanter Faktor sondern eine Variable.

Edit: mrtlbrmpf hat geschrieben, dass die Ableitung die Kraft ergibt. Das gilt fürs Potential und m.E. nicht für die potentielle Energie.

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 14:48 #64553

Manfred S schrieb: Damit ist seine Masse/Ladung doch kein konstanter Faktor sondern eine Variable.

Naja wenn Du einen bestimmten Körper beobachtest, ändert sich weder die Masse noch seine Ladung, das nennt man dann allgemein einen Parameter, weil er eben im Einzelfall konstant bleibt.

Manfred S schrieb: Edit: mrtlbrmpf hat geschrieben, dass die Ableitung die Kraft ergibt. Das gilt fürs Potential und m.E. nicht für die potentielle Energie.

Nee das verwechselst Du jetzt. Die Ableitung des Potentials ergibt die Beschleunigung bzw allgemein die Feldstärke.
g¹ = ∇¹Φ = a¹
E¹ = ∇¹U = a¹·m/Q
B¹ = ∇¹×A¹ = a¹×p¹/(Q·v²) ... wnn ich nicht irre

F¹ = ∇¹V

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 15:23 #64556

ra-raisch schrieb:

Manfred S schrieb: Damit ist seine Masse/Ladung doch kein konstanter Faktor sondern eine Variable.

Naja wenn Du einen bestimmten Körper beobachtest, ändert sich weder die Masse noch seine Ladung, das nennt man dann allgemein einen Parameter, weil er eben im Einzelfall konstant bleibt.


Aber das ist doch genau der Unterschied, auf den Manfred m.E. hinaus will. Das Potential existiert unabhängig von Objekten, die potentielle Energie nicht. Wie du sagst: Für die potentielle Energie benötigst du Parameter, die vom einzelnen Objekt abhängen. Es gilt aber eben auch: Das Potential hängt nicht von einzelnen Obkekten und deren Parametern ab.

Sonst könntest du ja auch sagen: Wenn man von einem einzelnen Körper spricht, dann ist es egal, ob man von Kraft oder Beschleunigung spricht. Wenn du einen bestimmten Körper beobachtest, ändert sich seine Masse nicht. Das nennt man dann allgemein einen Parameter, weil er eben im Einzelfall konstant bleibt.

Aber das ist offenkundiger Unfug, die Unterscheidung bleibt semantisch trotzdem relevant.

The truth is often what we make of it; you heard what you wanted to hear, believed what you wanted to believe.
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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 15:28 #64557

Arrakai schrieb: Aber das ist offenkundiger Unfug, die Unterscheidung bleibt semantisch trotzdem relevant.

Selbstverständlich, da bin ich auch gerne pingelig, und insoweit sehe ich keinen Fehler bei mrtlbrmpf.

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 17:16 #64558

Hui, da habe ich ja etwas losgetreten :lol:
Vielen Dank für die Antworten.

Also potentielle Energie ist schon richtig, wenn ich von der Lagrange-Funktion spreche.

Auch wenn im Buch eigentlich ja nichts anderes steht, hat mir die Formulierung,

dass ein Teilchen auf einer Flugbahn ein Optimum sucht zwischen Ekin und Epot

schon mal sehr geholfen. Vielen Dank :)

Doch ich bin immer noch ein wenig ratlos, was meine eigentliche Frage angeht. Wenn ich bei google nach "Lagrange Formalismus Vorteil" suche bekomme ich beispielsweise folgende Seite: de.serlo.org/physik/theoretische-physik/...ge-gleichungen-2-art
Da steht dann der Satz: "Der Vorteil der Methode nach Lagrange ist, dass keine Ausdrücke für die Kräfte oder Zwangskräfte gefunden werden müssen, um die Bewegungsgleichung aufzustellen, was sich vor allem bei komplizierten Systemen und Vielteilchensystemen auszahlt." (Der Fettdruck ist von mir)

Wie komme ich denn aber ohne Kräfte an die, in der Lagrangefunktion notwendige, potentielle Energie? Muss ich die Kräfte nicht trotzdem kennen, um die potentielle Energie zu bestimmen? Das sollte eigentlich meine Frage sein. Ich hoffe, ich konnte sie jetzt etwas besser formulieren.

Viele Grüße, Christian

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 17:44 #64559

mrtlbrmpf schrieb: Wie komme ich denn aber ohne Kräfte an die, in der Lagrangefunktion notwendige, potentielle Energie? Muss ich die Kräfte nicht trotzdem kennen, um die potentielle Energie zu bestimmen?

Nicht immer, da genügt zB die Dichte einer Wolke.
Aber ich bin bezüglich Lagrange leider nicht firm, obwohl ich schon einige Videos gesehen habe, die die Vorteile demonstriert haben.

Im Prinzip braucht man wohl dieselben Angaben, aber die Formulierung ist wohl einfacher.

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Prinzip der minimalen Wirkung 28 01. 2020 23:00 #64573

Versuch einer Antwort:

Natürlich stecken hinter den Energien, Epot oder Ekin, Kräfte, die auf einen Probekörper wirken, der sich auf einer Flugbahn in einem Potential bewegt.
Der Begriff der Kraft entstammt jedoch der Begriffswelt eines Isaac Newton.
Der kannte noch nicht den Feldbegriff und natürlich auch nicht den Potentialbegriff.
Newton beschrieb die Kurve eine Flugbahn mit dem Verhältnis zwischen Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft (nach innen gerichtet). Befinden sich beide im Gleichgewicht, dann ist damit eine Kreisbahn beschrieben.

Im Lagrangeformalismus bedarf es dieser Kraftvorstellung nicht mehr. Das ist der springende Punkt!
Wir haben dort nur noch das Potential und die Bewegungsverhälnisse, die aus der Differenz der Energieanteile folgen.
D.h., fliegt die Probemasse los, dann hat sie maximale kinetische Energie. Sie gewinnt dann an potentieller Energie und verliert an kinetischer Energie. Woher weiß die Probemasse, in welchem Verhältnis sie das eine verlieren soll und das andere gewinnen soll?
Und das ist physikalisch betrachtet der Clou. Sie sucht ein Optimum zwischen beiden.

Und woher weiß sie, wo das Optimum liegt? Sie versucht darüber hinaus, ihre Eigenzeit zu maximieren.
Um das Letztere zu verstehen, muss man die Relativitätstheorien wenigstens näherungsweise verstehen.

So stimmt mein letzter Satz jetzt nicht ganz. Denn die SRT/ART beschreiben die Potential- und Zeitverläufe in Gravitationsfeldern. Der Begriff Potential beschränkt sich aber nicht nur auf letztere, sondern gilt generell für alle Vektorfelder.
Seit jüngster Zeit gibt es ja auch ein Skalarfeld, das Higgsfeld. Das kennt meines Wissens nach keine Potentiale.
Also schon ein steiniger Weg.

Thomas

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Prinzip der minimalen Wirkung 29 01. 2020 17:23 #64609

Thomas schrieb: Und woher weiß sie, wo das Optimum liegt?

Herr Gassner hat das schön erklärt. Vielleicht war das auch beim Fermatschen Prinzip. Das Licht nimmt den schnellsten Weg. Woher weiß es am Anfang in welche Richtung es gehen muss, um dieses Optimum zu erreichen?

Die Erklärung: das Licht nimmt alle Wege. Die meisten Wege interferieren sich weg. Nur der optimale Weg bleibt bestehen. Das gleich gilt beim Prinzip der kleinsten Wirkung, denn jeder Köper besteht letztendlich aus Wellen.

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Prinzip der minimalen Wirkung 31 01. 2020 22:24 #64719

Manfred,

das Licht nimmt nicht den schnellsten Weg und auch nicht den optimalen Weg! Es nimmt den wahrscheinlichsten Weg.
Das mag jetzt nach Wortklauberei klingen, ist es aber nicht.
Denn die unwahrscheinlichen Wege kringeln sich quasi weg, während die wahrscheinlichen Wege Strecke machen. Die unwahrscheinlichen Wege sind deshalb nicht Null, sie liefern nur einen sehr kleinen Anteil, wenn nicht gar verschwindend geringen Anteil zur Gesamtwahrscheinlichkeit.
Die Summe aus allen Wahrscheinlichkeiten liefert dann die tatsächliche Wegstrecke.

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ist hier zentral.

Thomas

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Prinzip der minimalen Wirkung 31 01. 2020 22:40 #64721

Ist es nicht anders herum, dass der Weg der wahrscheinlichste ist, wo sich am wenigsten weginterferiert?

Der kürzeste Weg hat nun die Eigenschaft, dass er nur einseitig mit den längeren Wegen interferiert und deshalb verstärkt wird. Im Prinzip würde dies auch für den längsten Weg gelten, nur gibt es keinen längsten Weg.

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Prinzip der minimalen Wirkung 31 01. 2020 22:56 #64724

@Thomas

Die Erklärungen sind beide korrekt. Einmal klassisch, einmal quantenmechanisch.

The truth is often what we make of it; you heard what you wanted to hear, believed what you wanted to believe.

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The truth is often what we make of it; you heard what you wanted to hear, believed what you wanted to believe.

Prinzip der minimalen Wirkung 31 01. 2020 22:57 #64725

Rainer,

wieso andersherum? Ich hab doch genau das gesagt.
Deine zweite Bemerkung verstehe ich nicht.

Thomas

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Prinzip der minimalen Wirkung 31 01. 2020 23:52 #64731

Hm ja , wenn ich es jetzt lese, sehe ich auch nicht mehr den großen Unterschied, aber es war wohl folgender Satz:

Denn die unwahrscheinlichen Wege kringeln sich quasi weg

Was sind denn die unwahrscheinlichen Wege? Das ist doch gerade das, was sich erst als Ergebnis zeigt.

Für mich steht aber fest, dass der kürzeste Weg einerseits der mit der größten Pfeillänge ist und andererseits eben die Interferenz dort unsymmetrisch ist, weil alle anderen Wege länger sind.

Andererseits kann man natürlich sagen, dass der Weg mit der längsten Pfeillänge ja der wahrscheinlichste ist. Insoweit ist das aber eben genau der kürzeste Weg, und die kürzere Pfeillänge der anderen Wege ergibt sich eben genau deshalb, dies ist ja der Grund für die unterschiedlichen Pfeillängen.

Und der "kürzeste" Weg ist mit dem schnellsten Weg gleichzusetzen, die physische Länge spielt dabei nicht die entscheidende Rolle, wenn ich jetzt an gekrümmte Raumzeit denke, in der flachen Metrik ist ja beides sowieso gleichbedeutend.

Mit anderen Worten:
Wenn ich auf einem Weg eine Beschleunigung (zB Abkürzung oder geringere Raumzeitkrümmung) einbaue, wird dieser Weg genau dadurch der wahrscheinlichste.

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Prinzip der minimalen Wirkung 08 03. 2020 16:52 #66385

Langsam Leute. Ihr driftet zur QED ab.

Klassisch besteht der Vorteil vor allem in den generalisierten Koordinaten, weil man in diesen Zwangsbedingungen mit berücksichtigen kann.
Die Rechnung vereinfacht sich dadurch deutlich.

Typische Beispiele hierfür sind die Bewegung auf einer schiefen Ebene oder das Pendel.
In den genannten Fällen ergeben sich Zwangsbedingungen dadurch, dass im ersten Fall Körper sich nur entlang der Ebene bewegen können und im zweiten Fall der Körper sich nur rotatorisch um den Aufhängungspunkt des Pendels mit der Länge l bewegen kann.

Beide Fälle können sowohl mit der newtonschen Bewegungsgleichung wie auch mit dem Lagrange Formalismus gelöst werden.
Der Ansatz über Lagrange ist jedoch häufig kürzer und schneller gelöst.

Beide Beispiele werden auf youtube mit dem Lagrange Formalismus 2. Art durchgerechnet:
Pendel:

schiefe Ebene:



Das sich aus der Lagrange-Gleichung das Prinzip der kleinsten Wirkung ergibt lässt sich soweit mir bekannt klassisch nicht erklären.

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Prinzip der minimalen Wirkung 09 03. 2020 00:44 #66394

Rainer,
die Pfeillängen bleiben gleich, auch die Drehgeschwindigkeit bleibt gleich, bezogen auf den Emissionsort.
Die Strecke aber, die die Pfeile jetzt bis zum Detektor zurücklegen müssen, die ist nicht gleich, sondern von der Weglänge abhängig.
Insofern kommen die Pfeilrichtungen in Abhängigkeit von der Wegstrecke in unterschiedlichen Ausrichtungen an.

Und das tun sie mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten.

Je unwahrscheinlicher, desto weggekringelter!

Thomas

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Prinzip der minimalen Wirkung 09 03. 2020 00:59 #66395

Patte,

dass sich aus der Lagrange Gleichung das Prinzip der kleinsten Wirkung ergibt, erkennt man doch daran, dass die Energieterme mit einem Minuszeichen verknüpf sind.
Allein in dem Minuszeichen steckt das Prinzip der minimalen Wirkung.

In der Energieerhaltung, 1.Haupsatz, sind die Energien mit einem Pluszeichen versehen und die Gesamtenergie ist konstant.

Insofern findet sich der prinzipielle Unterschied zwischen Energieerhaltung und dem Prinzip der minimalen Wirkung nur dieser Vorzeichenwechsel.

Der aber hat’s in sich!

Es beinhaltet sozusagen den Konkurrenzkampf der Energien und der führt zwangsläufig zum Prinzip der maximalen Energieoptimierung oder anders genannt zur minimalen Wirkung.

Thomas

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Prinzip der minimalen Wirkung 09 03. 2020 14:27 #66414

Thomas schrieb: die Pfeillängen bleiben gleich

Diese Frage hat Josef nur gestreift, sie spielt erst für wesentlich längere Wege eine Rolle.

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Prinzip der minimalen Wirkung 18 03. 2020 19:20 #66638

Es geht ja eben um dieses Prinzip. Es kann eine Antwort auf jede x–Beliebige zurück gelegte Strecke geben. Es wird immer der Weg mit der höchsten potentiellen Energie und niedrigsten kinetischen Energie angestrebt.

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Prinzip der minimalen Wirkung 18 03. 2020 23:36 #66643

SpaceNils,

es geht um die Optimierung von Energie und Zeit!

Ein Gegenstand, den du wirfst, zB ein Ball, der sucht sich seine optimale Flugbahn nach seinen best möglichen Energie und Zeitmöglichkeiten.

Anders gesagt: er ist Energie- und Zeitoptimiert unterwegs.

Und das beschreibt das Prinzip der minimalen Wirkung oder auch das Prinzip der maximalen Eigenzeit.

Hm, klingt schwierig, ist es aber eigentlich nicht.

Man muss nur das Minuszeichen der Energien im Lagrange- Formalismus verstehen.

Und, auch wichtig, dass die Zeit hier den Objekten, die sich in einem Potentialfeld bewegen, immer anhaftet.

Thomas

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