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Topologie des Universums 15 08. 2020 11:45 #74722

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Welche topologischen Räume eignen sich eigentlich, um das Universum zu modellieren? Bzw. etwas allgemeiner formuliert: Welche topologischen Eigenschaften können wir dem Universum zuordnen? Ist es kompakt, zusammenhängend, Hausdorff, metrisierbar, eine Mannigfaltigkeit, ...? Oder wie sieht es mit abstrakteren Eigenschaften aus, wie z.B. Homologie- oder Homotopiegruppen?

Bin gespannt auf eure Antworten :)

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Topologie des Universums 15 08. 2020 12:10 #74723

Warum sollte das Universum kein Hausdorff-Raum sein? Waum sollte das Universum überhaupt etwas anderes als ein Metrischer Raum sein? Widerspricht dies einer Mannigfaltigkeit? Soweit ich es verstehe: Nein. Zumindest sagen das auch Riemann, Minkowski und Einstein, wenn ich nicht iire.

wiki:
Die riemannsche Metrik ist keine Metrik im Sinne der Theorie der metrischen Räume, sondern ein Skalarprodukt. Man kann jedoch ähnlich wie in der Theorie der Skalarprodukträume aus dem Skalarprodukt eine Metrik gewinnen. Somit können riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume verstanden werden. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten sind also im Gegensatz zu differenzierbaren Mannigfaltigen Begriffe wie Abstand, Durchmesser oder Vollständigkeit definiert.


Aber Du klingst wie ein Fachmann und wirst uns daher wohl den Hintergrund Deiner Fage und vor allem die praktische Relevanz erläutern können. In der Kosmologie geht es auch überhaupt nicht um Topologie. Wir unterscheiden sehr genau zwischen den unterschiedlichen Formen und individuellen Abmessungen, auch wenn sie topologisch gleich sind.

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Topologie des Universums 15 08. 2020 13:55 #74731

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Ich als Nichtphysiker stelle mir das Universum (bis auf Homöomorphie) immer als den dreidimensionalen Euklidischen Raum vor. Da es aber eine ganze Reihe "merkwürdiger" Gegebenheiten gibt, wie z.B. die Expansion des Universums, schwarze Löcher etc., bezweifle ich, dass dieses Modell wirklich treffend gewählt ist. Hier mal ein paar konkrete Fragen:
  • Wenn das Universum expandiert, ändert sich dadurch nicht dauernd die Metrik, die ihm zugrunde liegt? Oder gibt es eine "konstante" Metrik, wenn man den Raum zur Raumzeit erweitert? Und was passiert mit einer solchen Metrik unter relativistischen Betrachtungen (Stichwort Längenkontraktion)?
  • Wenn man nichts darüber aussagen kann, was in schwarzen Löchern vorgeht (korrigiert mich, wenn ich da falsch liege), sollten sie dann nicht auch unter topologischen Gesichtspunkten Löcher im Raum sein? Das hätte dann ja enorme Auswirkungen auf Homologie- und Homotopiegruppen des Raumes.
  • Hat das Universum so etwas wie einen Rand, d.h. soll man das Universum als Mannigfaltigkeit mit oder ohne Rand auffassen?
  • In seiner Kurzen Geschichte der Zeit hat Hawking irgendetwas erwähnt, dass die Zeit (oder die Raumzeit oder was auch immer) als irgendeine Sphäre beschrieben werden könnte. Wie genau ist da der aktuelle Stand der Wissenschaft? Ist die Raumzeit nun irgendetwas sphärisches oder Euklidisches oder etwas ganz anderes?

Ich hoffe, damit wird deutlich, dass das Universum durchaus interessante topologische Problemstellungen bietet. Einfachere Eigenschaften wie z.B. die Frage, ob der Raum Hausdorff ist oder eine Mannigfaltigkeit, scheinen mir evident zu sein, allerdings würde es mich nicht wundern, wenn es physikalische Theorien gibt, in denen sie nicht mehr (uneingeschränkt) gelten.

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Topologie des Universums 15 08. 2020 14:01 #74732

1) Die Metrik ändert sich natürlich mit der Expansion und mit jeder Bewegung jedes Teilchens.
2) SL kannst Du topologisch als Löcher auffassen, musst Du aber nicht. Nur weil wir nicht genau wissen, was dort vorgeht, muss es ja kein topologisches Loch sein.
3) Das Universum hat keinen Rand, allenfalls der Ereignishorizont läßt sich als eine Art von Rand interpretieren (auch beim SL), oder der Partikelhorizont.
4) Ob das Universum unendlich (flach) oder eine 3-Sphäre oder gar negativ gekrümmt ist, wissen wir nicht. Die Messungen deuten auf ein unendliches also flaches Universum. Aber die Krümmung wäre wohl auch bei einer 3-Sphäre kaum messbar.

Nach einfacher Rechnung entspricht das Alter 0,5 Jahre des Universums einer Rotverschiebung von z = 10.000.000. Um diesen Faktor wurde die Krümmung falls vorhanden also seither glattgebügelt bzw der Krümmungsradius vergrößert. ( ein besserer Rechner sagt: z=1.000.000 ~ τ=0,757 Jahre aber es werden dabei auch unterschiedliche Werte für H° und ΩΛ eingesetzt). Der exakte Wert ist ja erst einmal egal, es ging ja um die Größenordnung.

κ° = κª/(z+1)
R° = 1/κ° = Rª(z+1)
mit °=heute und ª=damals.

Mizar schrieb: Das hätte dann ja enorme Auswirkungen auf Homologie- und Homotopiegruppen des Raumes.

Kannst Du wiederum erläutern, was dies für die Kosmologie oder Physik bedeuten könnte?

Ich stelle mir zB vor, dass derartige Löcher in der Raumzeit topologisch gesehen lediglich Punkte wären, die nur so groß aussehen.
Aber letztlich kommt es immer auf die physikalische Relevanz an.

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Topologie des Universums 15 08. 2020 15:33 #74734

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Physikalische Relevanz ist ja wohl nur für Physiker relevant, oder? ;) Wie auch immer, Löcher (egal ob sie nur Punkte sind oder nicht) sorgen halt dafür, dass gewisse Homologie- bzw. Homotopiegruppen nichttrivial werden. Welche Konsequenzen das für die Physik hätte, kann ich nicht beurteilen. Ich könnte mir lediglich vorstellen, dass solche Löchen bei einer etwaigen Kontraktion des Universums (sofern es dazu jemals kommen sollte) Probleme bereiten könnten. Aber das ist reine Spekulation, die jeglicher physikalischer Fachkenntnis entbehrt.

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Topologie des Universums 15 08. 2020 15:47 #74735

Mizar schrieb: dass solche Löchen bei einer etwaigen Kontraktion des Universums (sofern es dazu jemals kommen sollte) Probleme bereiten könnten

Eher nicht, SL haben den Ereigbnishorizont rs, der nicht einer Kontraktion oder Expansion unterliegt, sondern rein gravitativ bestimmt wird. Wenn sich SL berühren, dann vereinigen sie sich, der Radius addiert sich. Über das Universum als großes SL - oder nicht, gab es schon mehrere Threads.

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