THEMA:

Liebe Physiker und Physik-Freunde,

ich kämpfe damit, das Konzept der Länge und ihrer Dilatation gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie zu verstehen. Würdet Ihr mir bitte auf eine imaginäre Reise folgen?

Starten wir in unserem Raumschiff und fliegen zu einem großen Neutronenstern von 2,14 Sonnenmassen, der kurz vor dem Kollaps zu einem Schwarzen Loch steht. Nehmen wir an, er rotiert nicht, hat keine Ladung und ist ziemlich kühl. Wir landen also auf diesem Neutronenstern (ja, sowohl unser Raumschiff als auch wir sind stark genug, um der gewaltigen Gravitation zu widerstehen) und messen den Umfang U mit einem Standardmaßband, das wir von der Erde mitgebracht haben. Dann nehmen wir einen Neutronen-Bohrer und bohren ein Loch genau durch das Zentrum des Neutronensterns und benutzen unser Maßband, um den Radius R zu erhalten.

Wenn Ihr keine besseren Kenntnisse über die Struktur des Neutronensterns habt, dann lasst uns annehmen, dass unser Neutronenstern die gleiche Dichte hat, wie wir sie laut MPG beobachten, also 1,4 Sonnenmassen bei 11 km Radius (was immer letzteres bedeutet) und dass die Dichte homogen ist. Ich kann hier leider keinen Link posten, der Artikel heißt "Neutron star with eleven kilometres radius".

Welchen Umfang und Radius würden wir dann messen? Wie weit würden diese Werte von der Erfüllung der Formel U = 2 Pi R abweichen?

Wenn es Eure Phantasie zulässt, lasst uns dann zu einem "Stabilitronenstern" fliegen, einem Stern aus einem Material, das dichter ist als Neutronensterne. Unser Stabilitronenstern hat ebenfalls 2,14 Sonnenmassen, ist ebenfalls nicht rotierend und nicht geladen, aber sein Radius ist so klein, dass Licht, das wir senkrecht von der Oberfläche aussenden, gerade noch entweichen kann. Wir wiederholen unsere Bohrungen und Messungen. Was würden wir für U und R finden? Würde entweder R oder U / 2 pi dem Schwarzschild-Radius von 6,3 km entsprechen?

Für die Messungen an den beiden Sternen nehmen wir weiter an, dass wir eine Drohne weit entfernt von den Flächen, auf denen wir gelandet sind, zurückgelassen haben, die uns bei den Messungen beobachtet hat: Würde die Drohne von ihrem Bezugssystem aus, das weit vom starken Gravitationspool des Sterns entfernt ist, andere Werte für unsere Messungen beobachten? Übrigens schwebt unsere Drohne mit ihrem starken Antriebssystem über dem Stern, so dass es keine relativistischen Effekte durch ihre Geschwindigkeit gibt.

Nach dieser heroischen Aktion machen wir uns auf die Suche nach einer neuen Heimat, denn obwohl wir uns insbesondere auf dem Stabilitronenstern sehr beeilt haben, ist unsere Sonne in der Zwischenzeit zu einem Roten Riesen geworden und die Erde ist unbewohnbar geworden.

Vielen Dank im Voraus,

Hans

Es ist so, dass die verwendeten Radien die Koordinatenmaße sind, also in der unverzerrten flachen Raumzeit gemessen.

Egal wie stark die Raumzeitkrümmung ist, wird jeder lokale Beobachter den entsprechenden Umfang ebenso messen.

Beim Bohrloch wird er jedoch eine Abweichung und zwar einen größeren physikalischen Radius messen.

Die lokale radiale Abweichung ist dabei r'/r = 1/σ = 1/²√(1-rs/r) außerhalb einer Zentralmasse.
Um nun die Länge eines radialen Weges zu berechnen, muss man also den physikalischen Weg berechnen
R = ∫1/σ dr, wobei angenommen wird, dass innerhalb rs mit σ' = i·σ = ²√(rs/r-1) zu rechnen ist.

Beim NS ist der Koordinatenradius ca r ≈ 2rs, ich setze vereinfacht r=10 km und rs=5 km

Beim SL ist der physikalische Radius
R_SL = π·rs/2
bei einem rs ≈ 5 km → R_SL ≈ 7,8 km

Für den NS mit r_NS ≈ 10 km berechne ich nach dieser Formel ca zusätzlich 11,5 km also R ≈ 19,3 km
Allerdings würde dies eine Konzentration der Masse innerhalb des rs voraussetzen. Die innere Lösung für homogene Sterne lautet hingegen

R_NS = ²√ra³asin(²√rs·r/²√ra³)/²√rs = 5π/²√2 km ≈ 11,1 km
mit ra = r = 10 km und rs = 5 km

Der große Unterschied liegt einerseits am geringeren Shapirofaktor σ = ²√(1+2Φ/c²) und vor allem daran, dass die radiale Dehnung nur aus dem geringeren Gradienten und nicht aus dem absoluten Shapirofaktor σ entsteht.

Hallo Rainer,

vielen Dank für Deine Antwort. Da diese, zumindest für mein Wissen, sehr kompakt ist, versuche ich sie nun zu dekodieren, bitte gib mir doch Bescheid, ob ich Dich richtig verstanden habe.

Du schreibst:

„Beim NS ist der Koordinatenradius ca r ≈ 2rs, ich setze vereinfacht r=10 km und rs=5 km.“

Für das Wort „Koordinatenradius“ habe ich keine Definition gefunden. Meinst Du damit den Radius, der sich aus der Messung bzw. Berechnung U/2Pi, nennen wir das mal R_U, aus dem vor Ort gemessenen Umfang ergibt? Und R_U ist bei allen Neutronensternen ca. das Doppelte des Schwarzschildradius? Das ist eine bekannte Tatsache? Für den Neutronenstern aus dem von mir zitierten Artikel der MPG mit 1,4 Sonnenmassen ergibt sich ein Schwarzschildradius von 4,1 km, was nur 1/2,7 im Vergleich zum dort angegebenen Radius von 11 km ist. Hier stimmt das Verhältnis von 1:2 also nicht oder mit Radius ist hier etwas anderes gemeint.

Nichtsdestotrotz wende ich nun dieses von Dir genannte Verhältnis auf den von mir genannten Neutronenstern mit 2,14 Sonnenmassen an. Damit ergibt sich aus seinem Schwarzschildradius von 6,3 km ein R_U von ca. 12,6 km und damit aus der Multiplikation mit 2Pi einen gemessenen Umfang von ca. 79 km. Richtig?

Deiner Formel für R_NS kann ich nicht folgen, auch weiß ich nicht, wofür hier nun ra in Abgrenzung zu r steht. Allerdings nehme ich mit, dass in Deinem Beispiel der bei der Bohrung gemessene Radius, nennen wir ihn R_B, ca. 10% länger ist als R_U. Das wäre dann vermutlich bei meinem etwas größeren Neutronenstern nicht so viel unterschiedlich und es ergäbe sich vermutlich ein R_B von etwas mehr als 12,6 km *1,1 = 13,9 km (das wäre dann basierend auf Deiner Rechnung eine Untergrenze, weil die etwas größere Masse zu stärkeren relativistischen Effekten führen sollte).

Habe ich so weit alles richtig verstanden? Wenn nein, dann korrigiere mich bitte. Wenn ich das hier richtig verstanden habe, dann gehe ich weiter.

Beste Grüße und Dank

Hans

Ja, wie ich schon sagte

Rainer schrieb:

Es ist so, dass die verwendeten Radien die Koordinatenmaße sind, also in der unverzerrten flachen Raumzeit gemessen.

und dies gilt wie ich weiter schrieb auch für die lokale Messung des Umfangs.

Hans schrieb:

Nichtsdestotrotz wende ich nun dieses von Dir genannte Verhältnis auf den von mir genannten Neutronenstern mit 2,14 Sonnenmassen an. Damit ergibt sich aus seinem Schwarzschildradius von 6,3 km ein R_U von ca. 12,6 km und damit aus der Multiplikation mit 2Pi einen gemessenen Umfang von ca. 79 km. Richtig?

Ja genau. Ich habe r/rs≈2 nur der Einfachheit als Größenordnung angesetzt....und je kleiner dieser Wert, desto größer die Radiusdehnung.
Es ist genau genommen so, dass die "Kompaktheit" eines typischen NS mit C=0,21525 angegeben wird. Das bedeutet, dass
r/rs = 0,5/0,21525 = 2,32
aber so genau kann man das gar nicht bestimmen, der Faktor muss nur allermindestens (angegeben C<0,3488) 1,44 betragen und liegt aber in der Regel zwischen 2 und 3. Rein rechnerisch muss der Faktor mindestens 1,5 betragen, aber dann kommen Druck und Dichteunterschiede dazu, die Zahl 1,44 halte ich daher für falsch....naja für eine Hohlkugel vielleicht...
Sowohl die Radien wie die Massen, die angegeben werden, betreffen meist gar nicht ein und denselben NS.

In meiner Formel bedeutet ra den Außenradius des Sterns und r den Punkt der Berechnung, in unserem Fall also ra=r.

Es ist so, dass der Dehnungsfaktor R/r mit größerem Faktor r/rs sinkt. Für gleiches Verhältnis r/rs ist auch R/r gleich.
Nehmen wir Deine ursprünglichen Zahlen "1,4 Sonnenmassen bei 11 km Radius" dann haben wir rs=4,2 km also r/rs= 2,62 und
R = 11,86 km

Super, Danke, Rainer!

Dann habe ich also Längenmessung am Neutronenstern soweit verstanden, auch wenn mir, um alles zu verstehen, was Du schreibst, definitiv Hintergrundwissen fehlt. Wenn Du schreibst „Ja, wie ich schon sagte“, dann hast Du die Information sicher gesendet, aber beim Empfänger ist sie vielleicht noch nicht ganz angekommen ;-) Danke, dass Du mir hilfst, dass nun in meinen Kopf zu bekommen.

Gehen wir also nun weiter zu meinem „Stabilitronenstern“ mit 2,14 Sonnenmassen und einer Größe, so dass Licht von der Oberfläche gerade noch entweichen kann. σ geht dann also gegen null. Was aber ist mit R_U und R_B?

Ich sehe mir Deine Formel für R_NS an. Um die Formel berechnen zu können, müsste ich wissen, welchen Wert ra (bzw. R_U) annimmt. r ist dann wieder identisch zu ra. rs kann man aus der Masse ausrechnen. Kannst Du mir sagen, welchen Wert ra in diesem Fall annehmen würde? Oder läuft dieser gegen unendlich?

Und abschließend noch zu meiner Drohne, die den Messvorgang von weit weg beobachtet. Wird sie jeweils unsere lokalen Messungen bestätigen? Du hast geschrieben: "Egal wie stark die Raumzeitkrümmung ist, wird jeder lokale Beobachter den entsprechenden Umfang ebenso messen." Da war ich mir nicht sicher, ob sich diese Aussage auf die Drohne bezieht.

Dank und beste Grüße

Hans

Hans schrieb:

Gehen wir also nun weiter zu meinem „Stabilitronenstern“ mit 2,14 Sonnenmassen und einer Größe, so dass Licht von der Oberfläche gerade noch entweichen kann. σ geht dann also gegen null. Was aber ist mit R_U und R_B?

Hier kannst Du direkt die Formel für ein SL anwenden, also
R_SL = π·rs/2
Und der Umfang ist ja immer einfach
U = 2π·rs

Aber wohl gemerkt, wir wissen nicht wie es innen aussieht, womöglich ist da überhaupt kein Innenraum. Die obige Formel basiert nur darauf, dass es innen weitergeht und zwar so wie erwartet, aber das ist beides nicht sicher.

σ→0 bedeutet, dass es an diesem Ort so aussieht, als ob die Entfernung nach draußen ebenso wie nach innen unendlich wäre. Je weiter man sich von rs entfernt, egal ob nach innen oder außen, sehen die Entfernungen in der jeweiligen Richtung dann wieder immer kürzer aus. Ähnlich verhält es sich mit der Zeit. Bei rs bleibt aus unserer Sicht die Zeit stehen. Wer sich dort befindet merkt davon natürlich nichts, weil seine eigene Zeit ja genauso wie die Zeit dort vergeht. Aber es ist nicht klar, ob die Zeit überhaupt weitergeht, ob er also rs überschreitet oder tatsächlch dort stehen bleibt. Während es bei der Radiusdehnung nur ein lokaler Effekt ist, könnte die gravitative Zeitdilatation durchaus ein endgültiger Effekt sein.

Kommt Bewegung ins Spiel müßte man aber auch die Effekte der SRT berücksichtigen, für einen idealen Freifaller aus dem Unendlichen wird die radiale Dehnung vollständig durch die Lorentzkontraktion kompensiert. (Für ihn gilt immer R=r). Die Zeitdilatation kumuliert jedoch.

Und von all dem abgesehen ist im Innenraum ohnehin Zeit und radiale Richtung in bestimmten Eigenschaften gewissermaßen vertauscht .... der Zeitpfeil wird zum Raumpfeil ...

Hallo Rainer,

erneut herzlichen Dank.

Somit ist für meinen "Stabilitronenstern" also R_U gleich dem Schwarzschildradius. Für Dich scheint das klar, aber für mich war das eine offene Frage. Ich kann mir das vielleicht so herleiten, dass ein tangential zur Oberfläche abgestrahltes Photon in eine Umlaufbahn gehen muss, die sich so verhält, als habe sie einen Radius vom Wert des Schwarzschildradius und das ist genau dann der Fall, wenn U = 2 Pi rs. Ob sich auf Basis dieser Argumentation auch ein Beweis führen lässt, kann ich nicht beurteilen.

Rainer schreibt: Hier kannst Du direkt die Formel für ein SL anwenden, also
RSL = π·rs/2

Ja, das folgt ja auch aus Deiner Formel für R_NS, wenn man für r und ra jeweils rs einsetzt. Sofern ich mich da nicht vertan habe. Mich wundert nämlich, dass jetzt für den homogenen "Stabilitronenstern" das Gleiche herauskommt, wie für ein schwarzes Loch, dessen Masse im Zentrum sitzt.

Rainer schreibt: σ→0 bedeutet, dass es an diesem Ort so aussieht, als ob die Entfernung nach draußen ebenso wie nach innen unendlich wäre. Je weiter man sich von rs entfernt, egal ob nach innen oder außen, sehen die Entfernungen in der jeweiligen Richtung dann wieder immer kürzer aus.

Oh, super. Das ist eine klasse Aussage, jetzt kann ich mir da was drunter vorstellen.

Rainer schreibt: Aber es ist nicht klar, ob die Zeit überhaupt weitergeht, ob er also rs überschreitet oder tatsächlch dort stehen bleibt. Während es bei der Radiusdehnung nur ein lokaler Effekt ist, könnte die gravitative Zeitdilatation durchaus ein endgültiger Effekt sein.

Da mein Stabilitronenstern ja gerade so gebaut ist, dass Licht eben noch entkommen kann und die Gravitation im Inneren wieder sinkt, habe ich die Hoffnung, dass es mit Geduld gelingt, innerhalb endlicher Zeit ein Loch zu bohren und das Maßband durchzustecken ;-)

Rainer schreibt: Und von all dem abgesehen ist im Innenraum ohnehin Zeit und radiale Richtung in bestimmten Eigenschaften gewissermaßen vertauscht .... der Zeitpfeil wird zum Raumpfeil ...

Hmm, das gilt doch nur für das schwarze Loch mit der Masse im Zentrum, aber nicht für den homogenen Stabilitronenstern, oder?

Beste Grüße

Hans

Hans schrieb:

Ich kann mir das vielleicht so herleiten, dass ein tangential zur Oberfläche abgestrahltes Photon in eine Umlaufbahn gehen muss, die sich so verhält, als habe sie einen Radius vom Wert des Schwarzschildradius und das ist genau dann der Fall, wenn U = 2 Pi rs. Ob sich auf Basis dieser Argumentation auch ein Beweis führen lässt, kann ich nicht beurteilen.

Tatsächlich befindet sich der einzige Photonenorbit bei einem Radius
r_ph = 1,5 rs

Bei rs muss das Photon bereits nach unten strahlen oder senkrecht nach oben an der Oberfläche verharren.

Hans schrieb:

Ja, das folgt ja auch aus Deiner Formel für RNS, wenn man für r und ra jeweils rs einsetzt. Sofern ich mich da nicht vertan habe. Mich wundert nämlich, dass jetzt für den homogenen "Stabilitronenstern" das Gleiche herauskommt, wie für ein schwarzes Loch, dessen Masse im Zentrum sitzt.

Die Massenverteilung im Inneren spielt nach außen überhaupt keine Rolle, solange sie kugelsymmetrisch ist.

Hans schrieb:

Hmm, das gilt doch nur für das schwarze Loch mit der Masse im Zentrum, aber nicht für den homogenen Stabilitronenstern, oder?

Wie gesagt ist die Masseverteilung im Inneren egal, aber wenn es nur fast ein SL ist, dann gelten die diesbezüglichen Aussagen auch nur fast.

Man darf aber nicht vergessen, dass das Potential im Zentrum einer homogenen Kugel den 1,5-fachen Wert von der Oberfläche hat, so dass also bereits bei einem Außenradius r=1,5 rs einer homogenen Kugel im Zentrum ein SL-ähnlicher Zustand (σ→0) entsteht, so dass der Innendruck wohl wegfällt und der gesamte Stern zusammenbrechen wird. Zu den gleichen Schlüssen kann man wohl infolge des Photonenorbits gelangen. Information (alle Wechselwirkungen) verbreitet sich maximal wie Photonen.

Hans schrieb:

Was bedeutet es jetzt aber, dass an der Oberfläche des Stabilitronensterns σ→0

In erster Linie bedeutet es, dass die Zeit stehen bleibt, es bedeutet aber auch, dass das (newtonsche) Potential
Φ = -c²/2 beträgt,
die potentielle Energie beträgt also bereits
V = (σ-1)c²m = -c²m

Hans schrieb:

Zuletzt die Frage, ob eine Drohne, die die Messungen von weiter entfernt beobachtet, zu anderen Werten für RU oder RB kommen würde:

Wie gesagt variiert die radiale Messung r' je nach Beobachter. Aus der Ferne (flache Raumzeit) gilt r=U/2π und dies ist auch der radiale Koordinatenabstand r zum Zentrum. Man sieht ja aus der Ferne den vergrößerten Radius nicht, alle dortigen Objekte erscheinen aus der Ferne hingegen komprimiert. Der Umfang U wird hingegen von allen Beobachtern gleich gemessen. Den tatsächlichen physikalischen Abstand R=∫dr'=∫1/σ dr könnte man hingegen nur durch Abschreiten, also unmittelbar aus der Nähe messen, weil sich ja andauernd die lokalen radialen Längen dr'=dr/σ ändern.

Ich habe mir die homogene Kugel nochmals genauer angesehen.

Schwarzschild hat diesen Radius bereits 1916 mit 9rs/8 berechnet, bei dem das Zentrum zum SL wird. Der geringere Radius gegenüber der Berechnung über das Newtonsche Potential einer homogenen Dichte ergibt sich aus mehreren relativistischen Faktoren und der Berücksichtigung einer konstanten Teilchendichte n=N/V anstatt einer konstanten Massedicht ρ=M/V.

Dabei wird neben dem vergrößerten Innenraum vor allem die abnehmende gravitative Masse der Teilchen ᴍ=σ·m zum Zentrum hin berücksichtigt. Man könnte zwar meinen, dass sich Volumenvergrößerung und Massenverringerung ausgleichen, aber in einer Kugel homogener Teilchendichte sinkt die Volumenvergrößerung zum Zentrum hin wieder, während die gravitative Masse ᴍ der Teilchen immer weiter abnimmt, bis sie im obigen Grenzfall im Zentrum zu Null wird und die Radiusdehnung ganz entfällt.

Shapirofkator Zeitdehnung
σi = (²√(1-rs/ra)3-²√(1-r²rs/ra³))²/4
σz = (²√(1-rs/ra)3-²√(1))²/4
mit ra=9rs/8
σz = 0

radiale Dehnung
γi = 1/(1-r²rs/ra³)
γz = 1/(1)

Herzlichen Dank, Rainer, auch für den letzten interessanten Beitrag, warum mein theoretischer Stabilitronenstern in der Praxis nicht existieren könnte! Das finde ich super, auch wenn es mir hauptsächlich um die Längenmessung ging.

Zusammenfassend haben wir also gesehen, dass, wenn wir uns an der Oberfläche eines massereichen Objektes befinden, wir bei Messung des Durchmessers bzw. R_B im Vergleich zum Umfang U bzw. R_U einen um bis zu Pi/2 größeren Wert ermitteln, also bis zu 57%. Das ist ordentlich mehr, aber es ist nicht unendlich viel mehr, obwohl es bei genügend Masse und σ→0 für den Beobachter auf der Oberfläche so wirkt, als ob die Entfernungen nach Innen oder weg von der Oberfläche des Objektes unendlich wären.

Rainer hat mir dann offline auch nochmals erklärt, warum es für die Drohne, die über dem massereichen Objekt schwebt, so aussieht, als ob es keinen Unterschied zwischen R_U und R_B gäbe: Legt man an der Oberfläche ein Maßband der Länge 2 R_B aus, dann stimmen Drohne und Besucher auf der Oberläche überein, dass es diese Länge 2 R_B hat. Ziehen wir es dann aber durch ein Bohrloch, dass durch das Objekt hindurch geht, dann sieht es für die Drohne so aus, als ob sich das Maßband auf die Länge 2 R_U zusammenzieht. Wollte man hier eine Messung mit Laserimpulsen machen, einmal von der Oberfläche und einmal von der Drohne aus, müsste man zusätzlich die relativistischen Effekte auf die Zeit berücksichtigen.

Herzlichen Dank an Rainer! Ich hoffe, dieser Austausch bringt auch für weitere Leser Licht ins Dunkel.

Beste Grüße

Hans

Ich muss natürlich ergänzen, dass es keine Messung durch ein SL geben kann und daher unbekannt bleiben wird, ob sich das Innere nach der Formel √|1-rs/r| richten wird, oder ob der Weg zum Zentrum doch in eine neue Dimension abkippt, wie es die Formel i√(rs/r-1) bedeuten könnte, oder ob dort alles gar völlig anders ist.

Hallo zusammen,
ich habe mir Euren interessanten Chat zu Gemüte geführt - muss aber zugeben, dass ich nicht alle Einzelheiten im Detail nachvollziehen kann.
Ich habe jedoch noch ein Problem grundsätzlicher Art zu diesem Thema. Um dies zu erläutern, beziehe ich mich auf das Buch „Können wir die Welt verstehen“
In einer Hohlkugel hebt sich die Gravitationswirkung vollständig auf (S. 253). Kann ich rechnerisch nachvollziehen. Als Konsequenz steigt das Gravitationspotential vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche betrachtet von Null bis zum Maximalwert (quadratisch) an.
Als Folge der ART müssten die radialen Raumkoordinaten im Erdinnern deshalb größer sein als auf der Erdoberfläche (Raum wird im Erdinnern radial „gestaucht" da geringere Gravitation im Vergleich zur Erdoberfläche). Benutzt man einen festen Maßstab von der Erdoberfläche würden sich die Maßstäbe gem. dem Bild 6.11 in einer Bohrung durch die Erdkugel stapeln lassen. Sie müssten doch größer erscheinen für einen externen Beobachter, da die radiale Raumkoordinaten im Erdinnern kleiner ist.
(Umgekehrt wie bei Annäherung an den Schwarschildradius - wo die radiale Raumkkordinate gößer wird und Maßstäbe eines externen Beobachters kleiner wirken).
Es müssten also weniger Maßstäbe in die Bohrung reinpassen, als wenn man den Radius aus dem (mit den denselben Maßstäben) gemessenen Erdumfang errechnet.
Also müsste doch der Erdradius gemessen durch die Bohrlochvariante kleiner sein als der aus dem Kugelumfang abgeleitet Radius.
Die Überlegung passt leider nicht ganz zu Euren Ausführungen – habe ich einen Denkfehler?
Könnt ihr mir da weiterhelfen.
Gruss
Marc Scharuder

Als Konsequenz steigt das Gravitationspotential vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche betrachtet von Null bis zum Maximalwert (quadratisch) an.

Zunächst ist das dann nicht die Hohklkugel aus dem vorhergehenden Satz sondern die Vollkugel. Es ist auch korrekt, dass dann das Potential von Innen nach Außen ansteigt. Allerdings ist der Wert im Nullpotential also in unendlicher Entfernung Null, während der Wert im Potential immer negativ ist und zwar im Zentrum am Niedrigsten.

Es ist zwar richtig, dass die radialen Längen gemäß ART gedehnt werden, allerdings ergibt sich dies nicht direkt aus dem Potential sondern aus dem Gradienten des Potentials. In der Vollkugel steigt die Gravitationsbeschleunigung
g = ∇Φ
zwar mit geringerem Radius, doch ab einem Punkt sinkt diese wieder, bis im Zentrum keine Kräfte mehr herrschen. Hier ist der Radius lokal daher auch nicht mehr gedehnt.

In der Erdkugel ist die Entwicklung allerdings anders, weil diese nicht homogen ist sondern die Dichte mit dem Radius variiert.

(Raum wird im Erdinnern radial „gestaucht" da geringere Gravitation im Vergleich zur Erdoberfläche)

Nein, es wird kein Raum gestaucht sondern es ist nur nicht soviel Raum vorhanden wie es bei höherer Gravitation vielleicht wäre.

Grundsätzlich ist es so, dass der Umfang immer dem Koordinatenradius r (der flachen Raumzeit) entspricht
U = 2π·r
Der (lokale) physikalische Radius R kann dann größer sein aber niemals kleiner.

Hallo Rainer,
danke für die schnelle Antwort - alles soweit nachvollziehbar.
Ich hänge nur noch an einem Bild wie ich es mir vorstellen kann.
Kann ich mir dies bildlich vielleicht folgendermaßen vorstellen:
Man stelle sich einen Maßstab vor, auf dem die Raumskalierung dargestellt ist. Auf der Erdoberfläche hat die Skalierung gleichmäßigen Abstände (wie die cm-Angaben auf einem Zollstock). Wenn man sich eine solche Skalierung radial zum Erdmittelpunkt vorstellt müsste sie folgendermaßen aussehen:
Die Abstände der Raum-Skalierungsmarken auf einem imaginären Zollstock nehmen immer weiter ab je weiter man sich dem Erdmittelpunkt nähert. (Bleiben natürlich immer größer Null). Zählt man nun diese Skalierungsmarken von Erdmittelpunkt bis Erdoberfläche, zählt man natürlich mehr als bei dem "Erdoberflächen-Vergleichs-Zollstock", den man sich gedanklich neben diesem imaginären Zollstock legt.
Ist diese Differenz ein Maß für den im Bohrloch gemessen Radius?
Würde ja eigentlich dem angesprochen Integral R = Integral (1/Sigma) dr entsprechen.

Wie gesagt, nimmt die Längendehnung im Zentrum wieder ab.

Für die Längendehnung kommt es immer nur auf die Masse im Innenraum an

g = G·ρ·r³π·4/3r² = G·ρ·r·4π/3 = G·M·r/ra³
mit ra Außenradius des homogenen Körpers
r' = r/²√(1-2g·r/c²)

Der Shapirofaktor σ=²√(1-rs/r) gilt für die Vakuumlösung, im Innenraum ist dieser für die Zeitidlatation komplizierter, da sich hierbei das Außenpotential zum Innenpotential addiert.

Allerdings hat der Zollstock immer unverändert gleiche Maße. Nur der bookkeeper (Beobachter im Nullpotential) müsste diesen "verbiegen", wenn er die lokalen Maße wissen will.

Der an jedem Punkt gemessene Radius ist r', der tatsächlich phyikalisch begehbare Radius ergibt sich aus dem Integral
R = ∫dr/²√(1-2g·r/c²) = ∫dr/²√(1-rs·r²/ra³)

Hallo Rainer,
Danke für Deine Geduld mit meinen Fragen - ich glaube ich habs jetzt soweit kapiert.
Soory - eine muss ich noch nachschieben
Formelmäßig soweit alles verständlich. Rechnerisch bekomme ich damit auch die Ergebnisse im Buch auf S. 255 raus.
Allerdings, kann es vielleicht sein, dass ein Faktor 2 bei deiner Gleichung für g versehntlich verloren gegangen ist, da Rs=2GM/c^2. Bei der Linearisierung fällt der Faktor 2 dann im Integral wieder raus.
Ich fasse nochmal zusammen, wie mein Weltbild aussieht und hoffe Du kannst es soweit bestätgen:
Wenn ich im folgenden von Maßstäben spreche, meine ich die Raumskalierung vergleichbar mit der Skalierung auf einem Zollstock.
Nimmt man ein ideales radialsymmetrisches Gravitationsfeld der Erde an, so wird die Länge von tangetial angelegten Maßstäben dadurch nicht! beeinflusst.
Diese Maßstäbe entsprechen denen der Minkowski-Welt (bookkeeper). Mit diesen "unverzerrten" Maßstäben misst man den Umfang U und berechnet daraus den Radius r = U / 2 x pi
Ebenso wird der Maßstab direkt im Mittelpunkt der Erde nicht beeinflusst, da dort die gleichen Bedingungen herrschen wie in der Minkowski-Welt (kein Gravitationsfeld).
Die Maßstäbe zwischen Erdmittelpunkt und Erdoberfläche unterliegen der Raumdehnung gem ART und werden zur Erdoberfläche hin immer größer.
Dies ist der Grund weshalb der physikalische Radius der Erde (ideal angenommene Vollkugel mit konstanter Dichte) immer größer ist als der Radius ermittelt durch r=U/2xPi (siehe oben).
Puhh -Rainer ich hoffe das passt qualitativ und ich kann anderen Interssierten damit paar schlaflose Nächte ersparen (-:

Alles korrekt. Die "2" muss ich nochmal prüfen....achja richtig, sehr gut aufgepasst und überprüft.