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THEMA: Herleitung der Lorentztransformation unvollständig?

Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 23 Jan 2018 16:09 #26415

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Beim Studium der verschiedenen Herleitungen ist mir etwas aufgefallen,
was ich mir noch nicht selbst beantworten konnte.



Wieso werden bei der Herleitung der Lorentztransformation
immer nur die beiden Fälle +vt+ct und -vt-ct betrachtet,
aber nicht +vt-ct und -vt+ct?


Die Fälle +vt+ct und -vt-ct werden durch die Invariante
c²t'²-x'²=c²t²-x²
abgedeckt, aber die anderen Fälle nicht.
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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 24 Jan 2018 10:12 #26453

Es ist nicht klar, was du damit meinst. Es gibt viele (grund)verschiedene Herleitungen, worauf beziehst du dich?

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 24 Jan 2018 15:27 #26467

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Was ich meine ist, daß nur der Fall betrachtet wird,
wenn S' sich in die gleiche Richtung bewegt wie ein Lichtstrahl.

Ich beziehe mich z.B. auf die Herleitung aus der Galilei-Transformation und konstantem c.




Ich habe mal eine eigene Herleitung versucht.
Nach meinem Bild ist

ct=vt+ct'

unter der Annahme einer 3D-Raums und Vektoren,
wobei y=z=0 sein sollen, ergibt sich

c²t²=v²t²+c²t'²

umgestellt
c²t'²=c²t²-v²t²
c²t'²=t²(c²-v²)
t'²=t²(c²-v²)/c²

erhält man
\[t'=t*\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\]
(1)

Dieses Ergebnis gilt für den Fall das die Vektoren
v und c in die gleiche Richtung zeigen.

Zeigen sie in die entgegengesetzte Richtung,
also die Fälle +vt-ct und -vt+ct, dann ist

-ct=vt-ct'

also
-ct-vt=-ct'
ct+vt=ct'
c²t'²=c²t²+v²t²

nach Umformung erhält man
\[t'=t*\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}\]
(2)


Das was ich gemacht habe ist keine vollständige Herleitung
der Lorentz-Transformation, vielleicht nicht mal gültig unter der Annahme von Relativität,
aber ich hoffe ihr versteht nun was ich meine.
Formel (1) kommt einem bekannt vor, Formel (2) eher nicht.

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 24 Jan 2018 18:02 #26474

Da ist ein bisschen was durcheinander geraten. Die Lorentztransformationen können nicht "aus den Galileitransformationen" hergeleitet werden, sondern allenfalls umgekehrt, da erstere ja allgemeiner sind und die Galileitransformationen als Grenzfall niedriger Relativgeschwindigkeiten enthalten.

Dann hast du dich schon bei der ersten zur zweiten Zeile (beim Quadrieren) verrechnet. Und die Größen v und c sind in den Formeln keine Vektoren.

Edit: deine letzten Umformungen sind auch falsch. Kannst du vlt. erläutern, was genau du tun willst?

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 24 Jan 2018 18:19 #26479

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Ferragus:
Wo habe ich mich verrechnet?
Ja, v und c sind keine Vektoren mehr, habe sie doch wieder eindimensional gemacht,
wollte nur das Quadrat begründen.

Was für Umformungen sind falsch?

Ich wollte doch nur meine Frage erläutern...

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 24 Jan 2018 18:26 #26481

Naja, z.B. steht in der ersten Zeile
ct = ct + ct'. In der zweiten c²t²=v²t²+c²t'².
Die Gleichungen können (wenn alle auftretenden Größen Zahlen sind) nur gleichzeitig erfüllt sein, wenn v, c, t oder t' = 0 sind. Es sieht so aus, als hättest du dich einfach verrechnet, im Allgemeinen ist ja nicht (a+b)^2 = a^2 + b^2.

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 24 Jan 2018 19:04 #26483

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Ah, jetzt versteh ich, du hast Recht!

Meine Herleitung ist FALSCH!
Schade, hab ich zu schnell gedacht.
Ich versuch mal was anderes zu finden...

Die Herleitung war auch nur zur Erläuterung meiner Frage gedacht,
die ich mit diesem Thema gestellt habe.

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 30 Jan 2018 10:18 #26832

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Es gibt eine auffallende Ähnlichkeit zwischen den beiden Fällen
+vt+ct und +vt-ct, also

(1) ct'=ct-vt
(2) ct'=ct+vt

und der Galilei-Transformation x'=x-vt und x=x'+vt',
wenn man für x=ct einsetzt, also

(3) ct'=ct-vt
(4) ct=ct'+vt'

Setzt man Relativität vorraus und nimmt einen Korrekturfaktor g an,
erweitert man die Galilei-Transformation (3)(4) zu

ct'=(ct-vt)*g
ct=(ct'+vt')*g

Umgestellt nach t oder t', eingesetzt und aufgelöst nach g,
erhält man den Lorentzfaktor
\[g=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v²}{c²}}}\]




Wählt man einen anderen Ansatz mit (1) und (2),
und ohne Annahme von Relativität

erhält man durch multiplikation von (1) und (2)
c²t'²=(ct-vt)*(ct+vt)
c²t'²=(c-v)*(c+v)*t²
c²t'²=(c²-v²)*t²

weiter nach t' umgeformt
\[t'=t*\sqrt{1⁻\frac{v²}{c²}}\]

Auch ohne Annahme von Relativität erhält man direkt die Zeitdilatation.

Hat jemand Gedanken dazu?

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Herleitung der Lorentztransformation unvollständig? 07 Feb 2018 17:44 #27497

Das, t'=(1-v)t und t'=(1+v)t, wobei ich der Einfachheit halber c=1 gesetzt habe, sind Gleichungen, die nicht beide erfüllt sein können außer v=0. Was du also machst, ist t'^2 = (1-v^2)t^2 anzusetzen und insofern wird der Term "\(\sqrt{1-v^2}\)" nicht gefolgert und sein Auftreten ist nicht gerade verwunderlich.

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