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THEMA: Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe?

Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 05 Sep 2018 20:16 #41661

Nach der speziellen Relativitätstheorie von Einstein müssen Naturgesetze in allen Inertialsystemen, die durch Lorentz-Transformation miteinander verbunden sind, die gleiche Form haben. Diese Transformation ist eine lineare Transformation, bei der das im vierdimensionalen Minkowski-Raum definierte Skalarprodukt invariant bleibt. Dieses Skalarprodukt steht beispielsweise im Metrik-Tensor der ART, wodurch dieser Lorentz-invariant wird, was aber auch zu den Nichtlinearitäten der ART führt. Was aber bedeutet in diesem Zusammenhang die Lorentz-Gruppe? Dies soll in diesem Thread beleuchtet werden.

Ein Ereignis kann in der SRT durch einen Vierervektor \((x_0,x_1,x_2,x_3\)) beschrieben werden. Die Metrik des vierdimensionalen Minkowski-Raums wird durch folgendes Lorentz-invariante Skalarprodukt bestimmt:
\[x\cdot y=\eta_{\mu\nu}x^{\mu}y^{\nu}=x^0y^0-\vec{x}\cdot \vec{y}\] Bekanntermassen kann das Längenquadrat \(x^2\) dabei zeitartig (\(x^2>0\)), lichtartig (\(x^2=0\)) oder raumartig (\(x^2<0\)) werden. Lineare Transformationen wie die Lorentz-Transformation
\[x'^{\mu}={\Lambda^\mu}_\nu x^{\nu}\] lassen sich mit einer Transformationsmatrix (\({\Lambda^\mu}_\nu\)) ausdrücken. Da diese das Minkowski-Skalarprodukt invariant lässt, bedeutet dies die Hintereinanderausführung zweier geeigneter Lorentz-Transformationen:
\[\Lambda^T\eta\Lambda=\eta\] D.h. Hin- und Rücktransformation lässt die Metrik unverändert. Bisher haben wir Längenkontraktion und Zeitdilatation kennengelernt. Wie platziert man die in der Transformationsmatrix?

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 06 Sep 2018 03:25 #41678

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Die Kinematik der speziellen Relativitätstheorie, die Maxwell-Gleichungen der Theorie des Elektromagnetismus, die Dirac-Gleichung der Theorie des Elektrons und auch das Standard-Modell der Teilchenphysik - nichts davon kommt ohne Lorentz-Symmetrie aus.
In der englischen Wikipedia steht:

The Lorentz group expresses the fundamental symmetry of space and time of all known fundamental laws of nature.

Und du weißt nicht was das ist. So so. Jaja.
Da bist du ja jetzt quasi offiziell als Ahnungsloser ausgewiesen. :-)

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 06 Sep 2018 08:53 #41682

Ach der Ropp nu wieder. Sonst nix zu melden?
Hier geht es insbesondere um die Gruppeneigenschaft. Was ist eine Gruppe gemäss Gruppentheorie usw. Aber davon hast Du natürlich noch nichts gehört, wie Dein hochqualifizierter Beitrag zeigt.:(

Wir betrachten also nochmal die Lorentz-Transformation:
\[x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu\] Das Linienelement \(ds^2\) muss invariant bleiben, also:
\[ds^2=dx'^\mu dx'_\mu = dx^\mu dx_\mu\] Die Matrizen \(\Lambda\) müssen also der Bedingung genügen:
\[{\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda_\nu}^\rho=\delta^\mu_\nu\] Die Menge dieser Matrizen bildet jetzt eine Gruppe. Warum?

Für eine Gruppe müssen 4 Axiome erfüllt sein:

1. Das Verknüpfungs- oder Multiplikationsgesetz muss erfüllt sein, d.h. das Paar \(\Lambda_1\) und \(\Lambda_2\) muss durch Verknüpfung wieder ein eindeutiges Gruppenelement \(\Lambda_3\) ergeben. Die Verknüpfung ist in unserem Falle die Matrixmultiplikation von \(\Lambda_1\) und \(\Lambda_2\):
\[\Lambda_1\cdot\Lambda_2=\Lambda_3\] 2. Es existiert ein Eins-Element, für das gilt:
\[1\cdot\Lambda=\Lambda\cdot 1\] 3. Es existiert ein inverses Element, für das gilt:
\[\Lambda\cdot\Lambda^{-1}=\Lambda^{-1}\cdot\Lambda=1\] 4. Das Assoziativgesetz muss erfüllt sein:
\[\Lambda_1\cdot(\Lambda_2\cdot\Lambda_3)=(\Lambda_1\cdot\Lambda_2)\cdot \Lambda_3\]

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 06 Sep 2018 12:42 #41693

Hallo Michael,

schön, dass du dich mit der mathematischen Struktur der Relativitätstheorie beschäftigen willst.

Dieses Skalarprodukt steht beispielsweise im Metrik-Tensor der ART, wodurch dieser Lorentz-invariant wird, was aber auch zu den Nichtlinearitäten der ART führt. Was aber bedeutet in diesem Zusammenhang die Lorentz-Gruppe? Dies soll in diesem Thread beleuchtet werden.


Der metrische Tensor (üblicherweise Metrik genannt, auch wenn sie im Gegensatz zur Metrik, wie man sie aus der Topologie kennt, nicht pos. definitiv sein muss) definiert das Skalarprodukt, deshalb ist die Formulierung "steht beispielsweise im Metrik-Tensor" missverständlich. Die Metrik ist übrigens nicht lorentzinvariant sondern transformiert als (1,1)-Tensor.
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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 06 Sep 2018 13:26 #41697

Versuchen wir den Weg zur Matrix-Schreibweise zu verstehen. Zunächst die Koordinatenschreibweise, vom Ruhesystem aus betrachtet:
\[t'=(t-v_xx/c^2)\cdot\gamma\] \[x'=(x-v_xt)\cdot\gamma\] \[y'=y\] \[z'=z\] Daraus ergibt sich umgeformt und mit c erweitert):
\[ct'=\gamma\cdot ct-\gamma\frac{v_x}{c}\cdot x\] \[x'=-\gamma\frac{v_x}{c}\cdot ct + \gamma\cdot x\] \[y'=y\] \[z'=z\] Damit ergibt sich jetzt folgende Matrix-Schreibweise für den sogenannten " Lorentz-Boost " in Richtung der x-Achse:
\[{\Lambda^\mu}_\nu(v_x)=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\frac{v_x}{c} & 0 & 0 \\ -\gamma\frac{v_x}{c} & \gamma & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] Lorentz-Boosts bilden eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Sie werden in der SRT benötigt, um Grössen in verschiedenen Bezugssystemen ineinander umzurechnen, deren Koordinatenachsen parallel liegen und die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen. Aus diesem Spezialfall wird deutlich, dass ein Lorentz-Boost nur die zeitartige (nullte) und die räumlichen Komponenten eines Vierervektors entlang der Geschwindigkeitsrichtung verändert, während die Komponenten orthogonal dazu unverändert bleiben.

Auch räumliche Drehungen bilden eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe, da diese \(x^2+y^2+z^2\) invariant lassen: \[\Lambda(R)=\begin{pmatrix} 1 & \\ & R_{3x3} \end{pmatrix}\] Im Allgemeinen gilt:

1. Drehung \(\cdot\) Drehung = Drehung
2. Boost \(\cdot\) Boost = Boost \(\cdot\) Drehung (beliebig orientierte Geschwindigkeiten)
3. Boost \(\cdot\) Boost = Boost (parallel orientierte Geschwindigkeiten)

Beide Untergruppen (Boosts, räumliche Drehungen) bilden die allgemeine Lorentz-Gruppe, die durch 6 Parameter charakterisiert wird (\(v_x\), \(v_y\), \(v_z\), \(\alpha_x\), \(\alpha_y\), \(\alpha_z\)). Für die gilt folgende Transformationsmatrix:
\[{\Lambda^\mu}_\nu(v,\alpha)={\Lambda^\mu}_\nu(v)\cdot\Lambda(\alpha)=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\frac{v_x}{c} & -\gamma\frac{v_y}{c} & -\gamma\frac{v_z}{c} \\ -\gamma\frac{v_x}{c} & 1+(\gamma-1)\frac{v_x^2}{v^2} & (\gamma-1)\frac{v_xv_y}{v^2} & (\gamma-1)\frac{v_xv_z}{v^2} \\ -\gamma\frac{v_y}{c} & (\gamma-1)\frac{v_xv_y}{v^2} & 1+(\gamma-1)\frac{v_y^2}{v^2} & (\gamma-1)\frac{v_yv_z}{v^2} \\ -\gamma\frac{v_z}{c} & (\gamma-1)\frac{v_xv_z}{v^2} & (\gamma-1)\frac{v_yv_z}{v^2} & 1+(\gamma-1)\frac{v_z^2}{v^2} \end{pmatrix}\cdot\Lambda(\alpha)\] mit
\[\Lambda(\alpha)=\Lambda(R)=\Lambda(\alpha_x)\cdot\Lambda(\alpha_y)\cdot\Lambda(\alpha_z)=\] \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos\alpha_x & sin\alpha_x \\ 0 & 0 & -sin\alpha_x & cos\alpha_x \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha_y & 0 & -sin\alpha_y \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & sin\alpha_y & 0 & cos\alpha_y \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha_z & sin\alpha_z & 0 \\ 0 & -sin\alpha_z & cos\alpha_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 06 Sep 2018 13:51 #41699

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Ah!
Ferragus, Haudegen der Expertise, da bist du ja.. :-)
Dann kannst ja Du, der Du bei ungefähr fünfunddreißig Gelegenheiten nicht versäumt hast, zu erwähnen, du hättest ja Physik studiert und außerdem dich erst kürzlich noch entblödet hast, dies hier

Ferragus schrieb: In meinem Ruhesystem ist meine Geschwindigkeit immer = 0. Und genau so gibt es für jedes beliebige v < c ein Bezugssystem, in dem meine Geschwindigkeit = v ist.

zu verlautbaren; nämlich - in aller Bündigkeit - dass Geschwindigkeit ja relativ sei;
erklär Du doch jetzt mal dem Michael D. kurz und prägnant, was eine Invarianzgruppe ist. :0)

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 11:42 #41840

Machen wir mal weiter. Erstmal muss man zeigen, dass der Viererabstand in zwei Inertialsystemen der flachen Minkowski-Raumzeit Lorentz-invariant ist, dass also bei unbeschleunigter Bewegung mit unterschiedlichen Geschwindkeiten in paralleler x-Richtung gilt:
\[s^2=s'^2=c^2\left[t'_2-t'_1\right]^2-\left[x'_2-x'_1\right]^2\] \[=c^2\left[(t_2-v_x/c^2x_2)\gamma-(t_1-v_x/c^2x_1)\gamma\right]^2-\left[(x_2-v_x/t_2)\gamma-(x_1-v_x/t_1)\gamma\right]^2\] \[=c^2\left[\frac{t_2-\frac{\beta}{c}x_2}{\sqrt{1-\beta^2}}-\frac{t_1-\frac{\beta}{c}x_1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right]^2-\left[\frac{x_2-\beta ct_2}{\sqrt{1-\beta^2}}-\frac{x_1-\beta ct_1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right]^2\Rightarrow\] \[s'^2(1-\beta^2)=c^2\left[(t_2-t_1)-\frac{\beta}{c}(x_2-x_1)\right]^2-\left[(x_2-x_1)-\beta c(t_2-t_1)\right]^2\] \[=c^2\left[(t_2-t_1)^2-2\frac{\beta}{c}(t_2-t_1)(x_2-x_1)+\frac{\beta^2}{c^2}(x_2-x_1)^2\right]-\] \[\left[(x_2-x_1)^2-2\beta c(x_2-x_1)(t_2-t_1)+\beta^2c^2(t_2-t_1)^2\right]\] \[=c^2(t_2-t_1)^2+\beta^2(x_2-x_1)^2-2\beta c(t_1-t_1)(x_2-x_1)-(x_2-x_1)^2+2\beta c(t_2-t_1)(x_2-x_1)-\] \[\beta^2c^2(t_2-t_1)^2\] \[=c^2(t_2-t_2)^2(1-\beta^2)-(x_2-x_1)^2(1-\beta^2)\]
\[=s^2(1-\beta^2)\] Ein sehr schöner nachvollziehbarer mathematischer Beweis! So muss es in der Wissenschaft sein. Da sollten sich die Alternativen mal ein Stück von abschneiden, bevor sie irgendetwas logisch noch so "Sinnvolles" postulieren. Ohne Mathematik ist alles nichts!

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 17:43 #41863

Michael D. schrieb: Machen wir mal weiter. Erstmal muss man zeigen, dass der Viererabstand in zwei Inertialsystemen der flachen Minkowski-Raumzeit Lorentz-invariant ist,
(...)
\[s'^2(1-\beta^2)=c^2\left[(t_2-t_1)-\frac{\beta}{c}(x_2-x_1)\right]^2-\left[(x_2-x_1)-\beta c(t_2-t_1)\right]^2\]
(...)
=c^2(t_2-t_2)^2(1-\beta^2)-(x_2-x_1)^2(1-\beta^2)\]
\[=s'^2(1-\beta^2)\]


In der letzten Zeile ist der Strich bei s zuviel. Ansonsten schön vorgerechnet.

"Anders" geht natürlich immer. Ich hätte hier den Gebrauch des differentiellen Wegelements vorgezogen - etwa so:

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DieterH
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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 17:51 #41864

DieterH schrieb: "Anders" geht natürlich immer. Ich hätte hier den Gebrauch des differentiellen Wegelements vorgezogen - etwa so:

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Danke Dir für die zusätzliche Variante. Jetzt mal zur Rotation, sagen wir um die z-Achse:
\[ds'^2=c^2dt^2-\left[cos(\alpha) dx + sin(\alpha) dy\right]^2-\left[-sin(\alpha) dx+cos(\alpha) dy\right]^2-dz^2\] \[=c^2dt^2-cos^2(\alpha)dx^2-2cos(\alpha)dxsin(\alpha)dy-sin^2(\alpha)dy^2-\] \[cos^2(\alpha)dy^2+2cos(\alpha)dysin(\alpha)dx-sin^2(\alpha)dx^2-dz^2\] \[=c^2dt^2-\left[sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)\right]dx^2-\left[sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)\right]dy^2-dz^2\] \[=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=ds^2\] Soweit ok, nur sehe ich keinen Grund, warum die Rotation keiner tangentialen Längenkontraktion und Zeitdilatation unterliegen sollte...

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 19:11 #41866

Michael D. schrieb: Jetzt mal zur Rotation, sagen wir um die z-Achse:
\[ds'^2=c^2dt^2-\left[cos(\alpha) dx + sin(\alpha) dy\right]^2-\left[-sin(\alpha) dx+cos(\alpha) dy\right]^2-dz^2\] \[=c^2dt^2-cos^2(\alpha)dx^2-2cos(\alpha)dxsin(\alpha)dy-sin^2(\alpha)dy^2-\] \[cos^2(\alpha)dy^2+2cos(\alpha)dysin(\alpha)dx-sin^2(\alpha)dx^2-dz^2\] \[=c^2dt^2-\left[sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)\right]dx^2-\left[sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)\right]dy^2-dz^2\] \[=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=ds^2\] Soweit ok, nur sehe ich keinen Grund, warum die Rotation keiner tangentialen Längenkontraktion und Zeitdilatation unterliegen sollte...


Dabei werden nur die Koordinatensysteme gegeneinander um einen festen Winkel alpha verdreht. Eine Dreh_bewegung_ liegt nicht vor.

DieterH

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 20:15 #41873

DieterH schrieb: Dabei werden nur die Koordinatensysteme gegeneinander um einen festen Winkel alpha verdreht. Eine Dreh_bewegung_ liegt nicht vor.

So habe ich es in der Literatur gefunden. Man müsste meiner Meinung nach das Ganze analog mit Rotationsgeschwindigkeiten formulieren:
\[\begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\gamma cos(\omega_z) & -\gamma sin(\omega_z) & 0 \\ 0 & -\gamma-sin(\omega_z) & -\gamma cos(\omega_z) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 20:29 #41875

Ein rotierendes System ist beschleunigt, also kein Inertialsystem. Die Lorentz- (genauer Poincare-)Gruppe besteht aus lin. Transform., die den Abstand im Minkowskiraum invariant lassen, also Rotationen, Boosts und Translationen. Es hält dich aber natürlich nichts davon ab, rotierende Objekte in der SRT zu untersuchen.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 20:39 #41877

Also mich interessiert die Tangentialgeschwindigkeit bei Rotationen. Die müsste doch eigentlich der Lorentz-Transformation unterworfen sein, so dass gilt:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\dot{\alpha}) & sin(\dot{\alpha}) & 0 \\ 0 & -sin(\dot{\alpha}) & cos(\dot{\alpha}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \frac{v_x}{c} & -\gamma \frac{v_y}{c} & 0 \\ -\gamma \frac{v_y}{c} & -\gamma \frac{v_x^2}{c^2} & -\gamma \frac{v_xv_y}{c} & 0 \\ \gamma \frac{v_y}{c} & -\gamma \frac{v_xv_y}{c} & -\gamma \frac{v_y^2}{c^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 20:58 #41880

Michael D. schrieb:

DieterH schrieb: Dabei werden nur die Koordinatensysteme gegeneinander um einen festen Winkel alpha verdreht. Eine Dreh_bewegung_ liegt nicht vor.

So habe ich es in der Literatur gefunden. Man müsste meiner Meinung nach das Ganze analog mit Rotationsgeschwindigkeiten formulieren:
\[\begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\gamma cos(\omega_z) & -\gamma sin(\omega_z) & 0 \\ 0 & -\gamma-sin(\omega_z) & -\gamma cos(\omega_z) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]


Darin ist keine Zeitabhängigkeit enthalten. Auch damit beschreibst du dann lediglich eine gegenseitige Verdrehung der zwei Koordinatensysteme um einen festen Winkel.
Weiter ist zu bedenken, dass ein rotierendes Bezugssysem kein Inertialsystem ist. Die Metrik ist dann eine andere als die der flachen Minkowski-Raumzeit ds^2 = eta_a,b * dx^a dx^b, die bei gleichförmiger Translation auftritt. Wie die Metrik im rotierenden Bezugssystem aussieht, kannst du z.B. hier in Abschnitt 5.5 finden, oder auch hier in Abschnitt 3 .

DieterH

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 21:40 #41883

DieterH schrieb: Weiter ist zu bedenken, dass ein rotierendes Bezugssysem kein Inertialsystem ist. Die Metrik ist dann eine andere als die der flachen Minkowski-Raumzeit...

Also zunächst mal muss man doch festhalten, dass den Lorentz-Transformationen doch eigentlich völlig wurscht ist, ob ein Inertialsystem vorliegt oder nicht. Nimm ganz einfach als Gedankenexperiment eine Scheibe von 10 cm Durchmesser mit einem Gewicht von 1 kg. Lass die jetzt mal mit annähernd Lichtgeschwindigkeit rotieren. Niemand wird doch ernsthaft bestreiten können, dass am Rand der Scheibe eine tangentiale Lorentzsche Längenkontraktion sowie eine Zeitdilatation stattfindet. Genau dadurch ändert sich ja auch die Metrik.

Eins muss doch völlig klar sein: Primär findet das Phänomen der Lorentz-Transformation statt und aufgrund dessen! ergeben sich Dinge wie eine veränderte Metrik, Relativitätsprinzip usw. Wir wollen doch mal nicht die Henne mit dem Ei verwechseln. Die Grundlage beider Relativitätstheorien können doch nur die Lorentz-Transformationen sein und nichts Anderes.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 21:52 #41884

"Lorentztransformationen" sind kein Phänomen, sondern beschreiben den Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen und sind weniger die Grundlage der Relativitätstheorien sondern bilden diejenige Symmetriegruppe, welche die experimentell festgestellte Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter respektiert. Grundlage der SRT ist dabei eher letzteres.

Edit:
Die Metrik ändert sich in der SRT übrigens nicht sondern ist zeitlich invariant und flach mit Signatur ±(-1,1,1,1).

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 22:02 #41886

Ferragus schrieb: "Lorentztransformationen" sind kein Phänomen, sondern beschreiben den Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen.

Sie sind mehr als das. Sie sind ein nachgewiesenes Phänomen und finden unabhängig! vom Relativitätsprinzip tatsächlich statt. Das Relativitätsprinzip benötigt die Lorentz-Transformationen. Die Lorentz-Transformationen benötigen jedoch das Relativitätsprinzip nicht.

Also nochmal: Bei rotierenden Körpern muss tangential eine Lorentzsche Längenkontraktion und eine Zeitdilatation stattfinden. Sind wir uns darüber einig? Hans Thirring war übrigens auch dieser Meinung.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 22:35 #41890

Michael D. schrieb:

DieterH schrieb: Weiter ist zu bedenken, dass ein rotierendes Bezugssysem kein Inertialsystem ist. Die Metrik ist dann eine andere als die der flachen Minkowski-Raumzeit...

Also zunächst mal muss man doch festhalten, dass den Lorentz-Transformationen doch eigentlich völlig wurscht ist, ob ein Inertialsystem vorliegt oder nicht.


Nein, die Lorentz-Transformation verknüpft zwei gleichförmig geradlinig relativ zueinander bewegte Inertialsysteme. Die bekannte Form der Transformationsmatrizen lässt sich aus der Invarianz des Wegelements ds'^2 = ds^2 bezüglich der Metrik der flachen Minkowski-Raumzeit und der Transformation x' = L * x herleiten.

Nimm ganz einfach als Gedankenexperiment eine Scheibe von 10 cm Durchmesser mit einem Gewicht von 1 kg. Lass die jetzt mal mit annähernd Lichtgeschwindigkeit rotieren. Niemand wird doch ernsthaft bestreiten können, dass am Rand der Scheibe eine tangentiale Lorentzsche Längenkontraktion sowie eine Zeitdilatation stattfindet. Genau dadurch ändert sich ja auch die Metrik.


Die geänderte Metrik entsteht nicht durch die Lorentz-Transformation, denn diese gilt nur für gleichförmige Translation. Die Koordinaten-Transformation zwischen ruhendem und rotierendem System sieht wesentlich anders aus als bei zwei Inertialsystemen in gleichförmiger Translation. Daher unterscheidet sich der metrische Tensor bei Rotation erheblich von dem der flachen Minkowski-Raumzeit.

Noch ein kleiner Hinweis: Du willst in deiner Modifikation der Lorentz-Matrizen Winkelfunktionen einbauen: cos(omega_z), sin(omega_z). Das geht nicht, da Winkelgeschwindigkeiten einheitenbehaftet sind.

Eins muss doch völlig klar sein: Primär findet das Phänomen der Lorentz-Transformation statt und aufgrund dessen! ergeben sich Dinge wie eine veränderte Metrik, Relativitätsprinzip usw. Wir wollen doch mal nicht die Henne mit dem Ei verwechseln.


Umgekehrt. Gegeben sei eine Metrik. Dann ergibt sich die Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen durch Forderung nach Invarianz des Wegelements bezüglich der gegebenen Metrik. Im Minkowski-Raum ist das die Lorentz-Transformation, in rotierenden Systemen sieht die Transformation erheblich anders aus.

Die Grundlage beider Relativitätstheorien können doch nur die Lorentz-Transformationen sein und nichts Anderes.


Grundlage der SRT ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit - und daraus ergibt sich auch die Minkowski-Metrik.
Grundlage der ART ist das Äquivalenzprinzip. Hier ergibt sich eine Metrik aus der gegebenen Massen-Verteilung.

DieterH

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 09 Sep 2018 22:53 #41892

Michael D. schrieb: Also nochmal: Bei rotierenden Körpern muss tangential eine Lorentzsche Längenkontraktion und eine Zeitdilatation stattfinden. Sind wir uns darüber einig?


Dem hat ja auch niemand widersprochen. Ich hatte dir sogar eine Quelle benannt, in der dies Problem durchgerechnet wird: Ehrenfest’sches Paradoxon – Die rotierende Scheibe . Da keine gleichförmige Translation vorliegt, treten auch nicht die Lorentz-Matrizen auf.

DieterH
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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 10 Sep 2018 09:12 #41900

DieterH schrieb: Nein, die Lorentz-Transformation verknüpft zwei gleichförmig geradlinig relativ zueinander bewegte Inertialsysteme. Die bekannte Form der Transformationsmatrizen lässt sich aus der Invarianz des Wegelements ds'^2 = ds^2 bezüglich der Metrik der flachen Minkowski-Raumzeit und der Transformation x' = L * x herleiten.

Man kann einwenden, dass die Lorentz-Transformation kein zweites Bezugssystem benötigt um stattzufinden. Dass sie also ein physikalisch vor Ort stattfindendes Phänomen ist. Die Rotation ist auch nicht relativ, sondern absolut.

Die geänderte Metrik entsteht nicht durch die Lorentz-Transformation, denn diese gilt nur für gleichförmige Translation.

Das ist doch nur ein Postulat, aber kein Beweis.

Daher unterscheidet sich der metrische Tensor bei Rotation erheblich von dem der flachen Minkowski-Raumzeit.

Aber doch nicht für die 1kg-Scheibe aus unserem Gedankenexperiment.

Umgekehrt. Gegeben sei eine Metrik. Dann ergibt sich die Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen durch Forderung nach Invarianz des Wegelements bezüglich der gegebenen Metrik.

Auch das ist doch nur ein Postulat. Man kann problemlos behaupten, dass es sich umgekehrt verhält und die Lorentz-Transformation kein zweites Koordinatensystem benötigt.

Da keine gleichförmige Translation vorliegt, treten auch nicht die Lorentz-Matrizen auf.

Das ist doch nur ein Postulat, dass Lorentz-Matrizen nur für gleichförmige Translationen gelten sollen. Es muss doch möglich sein, dass Gegenteil zu beweisen. Ausserdem kann ich doch jede Rotation in gleichförmige Translationen aufspalten:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\dot{\alpha})r_\perp & sin(\dot{\alpha})r_\perp & 0 \\ 0 & -sin(\dot{\alpha})r_\perp & cos(\dot{\alpha})r_\perp & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \frac{v_x}{c} & -\gamma \frac{v_y}{c} & 0 \\ -\gamma \frac{v_y}{c} & -\gamma \frac{v_x^2}{v_\parallel^2} & \gamma \frac{v_xv_y}{v_\parallel^2} & 0 \\ -\gamma \frac{v_y}{c} & -\gamma \frac{v_xv_y}{v_\parallel^2} & -\gamma \frac{v_y^2}{v_\parallel^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Hab mir mal den Abschnitt über das Ehrenfestsche Scheiben-Paradoxon durchgelesen. Die Erklärung überzeugt mich nicht. Ich sehe keinen Grund, warum sich die geänderte Metrik nicht aus der Lorentz-Transformation ergeben sollte. Bei gleichförmigen Translationen führen die Lorentz-Transformationen doch auch zu einer geänderten Metrik. Weiter steht auf S. 10:

"...Auch von der Scheibe aus betrachtet erscheinen die Massstäbe auf dem Laborboden kontrahiert, sodass der Umfang der Scheibe grösser wird. Die Scheibe wird somit in Wahrheit gestreckt..."

Das ist logisch nicht nachvollziehbar. Eine Rotation ist absolut, nicht relativ. Warum sollten also auch die Massstäbe des Laborbodens aus Sicht der Scheibe kontrahiert erscheinen? Dafür gibt es keinen Grund. Das Relativitätsprinzip versagt hier total. Noch abstruser ist die Behauptung, dass die Scheibe in Wahrheit gestreckt sein soll. Die Scheibe wird weder gestreckt noch gestaucht, sondern ganz einfach verdichtet, so dass ihre Masse steigt bzw. die Metrik sich daraufhin ändert. Das bedeutet Lorentz-Kontraktion.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 10 Sep 2018 18:10 #41932

Michael D schrieb: Die Erklärung überzeugt mich nicht ... Das ist logisch nicht nachvollziehbar.

Du solltest besser deine eigene Logik in Frage stellen und nicht den Konsens der Wissenschaft, sonst wirst du nie etwas dazulernen.

Warum sollten also auch die Massstäbe des Laborbodens aus Sicht der Scheibe kontrahiert erscheinen? Dafür gibt es keinen Grund.

Relativgeschwindigkeit => LK

Noch abstruser ist die Behauptung, dass die Scheibe in Wahrheit gestreckt sein soll.

Ich kann dir da empfehlen dich zuerst einmal mit dem Bellschen Raumschiffparadoxon zu beschäftigen, dann verstehst du das vielleicht besser wie das gemeint ist.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 10 Sep 2018 18:18 #41933

Michael D. schrieb:

DieterH schrieb: Nein, die Lorentz-Transformation verknüpft zwei gleichförmig geradlinig relativ zueinander bewegte Inertialsysteme. Die bekannte Form der Transformationsmatrizen lässt sich aus der Invarianz des Wegelements ds'^2 = ds^2 bezüglich der Metrik der flachen Minkowski-Raumzeit und der Transformation x' = L * x herleiten.

Man kann einwenden, dass die Lorentz-Transformation kein zweites Bezugssystem benötigt um stattzufinden. Dass sie also ein physikalisch vor Ort stattfindendes Phänomen ist.


Eine Transformation vermittelt aber nun einmal zwischen verschiedenen Bezugssystemen - sie ist kein "vor Ort stattfindendes Phänomen". Kann es sein, dass du bei "Transformation" an die darstellende Matrix denkst? Aber auch für die sind zwei inertiale Bezugssysteme nötig: es tritt schließlich die Relativgeschwindigkeit zweier IS in der Matrix auf.

(rotierende Scheibe) Da keine gleichförmige Translation vorliegt, treten auch nicht die Lorentz-Matrizen auf.

Das ist doch nur ein Postulat, dass Lorentz-Matrizen nur für gleichförmige Translationen gelten sollen.


Nein, das ist kein Postulat. Hintergrund: Beim Aufstellen der SRT wird eine Transformation gesucht, die das erste newtonsche Axiom und das Relativitätsprinzip befriedigt - also die vollständige Äquivalenz aller Inertialsysteme. Dies sind die Lorentz-Transformationsgruppen, die jeweils eine endliche invariante Geschwindigkeit aufweisen. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist dann die Gruppe zu wählen, in der c die invariante Geschwindigkeit ist.

Ausserdem kann ich doch jede Rotation in gleichförmige Translationen aufspalten:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\dot{\alpha})r_\perp & sin(\dot{\alpha})r_\perp & 0 \\ 0 & -sin(\dot{\alpha})r_\perp & cos(\dot{\alpha})r_\perp & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \frac{v_x}{c} & -\gamma \frac{v_y}{c} & 0 \\ -\gamma \frac{v_y}{c} & -\gamma \frac{v_x^2}{v_\parallel^2} & \gamma \frac{v_xv_y}{v_\parallel^2} & 0 \\ -\gamma \frac{v_y}{c} & -\gamma \frac{v_xv_y}{v_\parallel^2} & -\gamma \frac{v_y^2}{v_\parallel^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]


Wenn \dot{\alpha} die zeitliche Änderung des Winkels bezeichnen soll, dann ist dieser Term einheitenbehaftet - du kannst also keinen Sinus oder Kosinus davon bilden.

Zum Aufspalten: Dazu verweise ich auf die genannte Arbeit zur rotierenden Scheibe, dort im Abschnitt 1.2 Beschleunigte Bewegung

Hab mir mal den Abschnitt über das Ehrenfestsche Scheiben-Paradoxon durchgelesen. Die Erklärung überzeugt mich nicht. Ich sehe keinen Grund, warum sich die geänderte Metrik nicht aus der Lorentz-Transformation ergeben sollte.


Ganz einfach: Die LT gilt nicht für rotierende Bezugssysteme.

DieterH

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 10 Sep 2018 18:30 #41934

DieterH schrieb: Nein, das ist kein Postulat. Hintergrund: Beim Aufstellen der SRT wird eine Transformation gesucht, die das erste newtonsche Axiom und das Relativitätsprinzip befriedigt - also die vollständige Äquivalenz aller Inertialsysteme. Dies sind die Lorentz-Transformationsgruppen, die jeweils eine endliche invariante Geschwindigkeit aufweisen. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist dann die Gruppe zu wählen, in der c die invariante Geschwindigkeit ist.

Ich sehe keinen Grund, warum man das Relativitätsprinzip befriedigen muss. Die Lorentz'sche Äthertheorie kommt beispielsweise ohne Relativitätsprinzip aus. Ihr reichen die Lorentz-Transformationen. Man muss nur lokal einen absoluten Raum annehmen. Der muss übrigens bei jeder Rotation existieren, denn sonst gäbs keine Zentrifugalkräfte. Verallgemeinert lässt sich doch sagen, dass bei jeder beschleunigten Bewegung der Raum lokal absolut sein muss, sonst gäbs keine Trägheitskräfte.

Ganz einfach: Die LT gilt nicht für rotierende Bezugssysteme.

Das kann doch aber nicht sein. Wir altern hier auf der Erde beispielsweise doch weniger schnell als ein Mensch auf einer Mondstation, da der Mond eine geringere Rotationsgeschwindigkeit hat. Eine Rotation lässt sich immer in translatorische Anteile aufspalten. Für die gilt dann die Lorentz-Transformation.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 10 Sep 2018 21:43 #41945

Michael D. schrieb:

DieterH schrieb: Beim Aufstellen der SRT wird eine Transformation gesucht, die das erste newtonsche Axiom und das Relativitätsprinzip befriedigt - also die vollständige Äquivalenz aller Inertialsysteme. Dies sind die Lorentz-Transformationsgruppen, die jeweils eine endliche invariante Geschwindigkeit aufweisen. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist dann die Gruppe zu wählen, in der c die invariante Geschwindigkeit ist.

Ich sehe keinen Grund, warum man das Relativitätsprinzip befriedigen muss.


Ganz einfach: Mit der SRT soll eine Theorie aufgestellt werden, in der das der Fall ist.

Die Lorentz'sche Äthertheorie kommt beispielsweise ohne Relativitätsprinzip aus. Ihr reichen die Lorentz-Transformationen.


Die Lorentzsche Äthertheorie ist unzureichend. Die in ihr auftretende Längenkontraktion erreicht keine Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Ätherdrift. Auch erreicht sie nicht, dass die Lichtgeschwindigkeit in eine Richtung (nur "hin" oder nur "zurück") für alle Richtungen gleich ist.

Man muss nur lokal einen absoluten Raum annehmen. Der muss übrigens bei jeder Rotation existieren, denn sonst gäbs keine Zentrifugalkräfte. Verallgemeinert lässt sich doch sagen, dass bei jeder beschleunigten Bewegung der Raum lokal absolut sein muss, sonst gäbs keine Trägheitskräfte.


Dazu lasse ich einmal Max Born zu Wort kommen:
"Der absolute Raum aber hat nahezu spiritistischen Charakter. Fragt man: 'was ist die Ursache der Fliehkräfte?', so lautet die Antwort: 'der absolute Raum'. Fragt man aber: 'was ist der absolute Raum und worin äußert er sich sonst?', so weiß niemand eine andere Antwort als die: 'der absolute Raum ist die Ursache der Fliehkräfte, sonst hat er keine Eigenschaften". Diese Gegenüberstellung zeigt zur Genüge, daß der Raum als Ursache physikalischer Vorgänge aus dem Weltbild beseitigt werden muß."
(Max Born: Die Relativitätstheorie Einsteins. 7.Auflage)

Die LT gilt nicht für rotierende Bezugssysteme.

Das kann doch aber nicht sein. Wir altern hier auf der Erde beispielsweise doch weniger schnell als ein Mensch auf einer Mondstation, da der Mond eine geringere Rotationsgeschwindigkeit hat.


Aus der Metrik - wie sie z.B. bei der rotierenden Scheibe beschrieben ist - ergibt sich die formal gleiche Zeitdilatation wie bei Translation:
\[
d\tau=\sqrt{1-\frac{\omega^{2}r^{2}}{c^{2}}}dt=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}dt
\]
(Darüber hinaus treten auch noch gravitative Effekte auf.)

Eine Rotation lässt sich immer in translatorische Anteile aufspalten. Für die gilt dann die Lorentz-Transformation.


Das ist dann nicht eine LT mit konstantem v, sondern zu jedem Zeitpunkt liegt eine andere LT mit einem v(t) vor - womit dann die Transformation zeitabhängig ist. Siehe z.B. hier: 1.2 Beschleunigte Bewegung .

DieterH

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 11 Sep 2018 09:38 #41957

DieterH schrieb:

Michael D. schrieb: Ich sehe keinen Grund, warum man das Relativitätsprinzip befriedigen muss.

Ganz einfach: Mit der SRT soll eine Theorie aufgestellt werden, in der das der Fall ist.

Man kann ganz einfach eine äquivalente Theorie aufstellen, in der das nicht der Fall ist.

Die Lorentzsche Äthertheorie ist unzureichend. Die in ihr auftretende Längenkontraktion erreicht keine Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Ätherdrift. Auch erreicht sie nicht, dass die Lichtgeschwindigkeit in eine Richtung (nur "hin" oder nur "zurück") für alle Richtungen gleich ist.

Doch, denn für sie gelten die Lorentz-Transformationen. Nur mit dem Unterschied, dass sie tatsächlich vor Ort in einem absoluten Raum stattfinden. Auch der Raum selbst und damit die Massstäbe sind diesen realen Transformationen unterworfen.

Dazu lasse ich einmal Max Born zu Wort kommen:
"Der absolute Raum aber hat nahezu spiritistischen Charakter. Fragt man: 'was ist die Ursache der Fliehkräfte?', so lautet die Antwort: 'der absolute Raum'. Fragt man aber: 'was ist der absolute Raum und worin äußert er sich sonst?', so weiß niemand eine andere Antwort als die: 'der absolute Raum ist die Ursache der Fliehkräfte, sonst hat er keine Eigenschaften". Diese Gegenüberstellung zeigt zur Genüge, daß der Raum als Ursache physikalischer Vorgänge aus dem Weltbild beseitigt werden muß."

Max Born wusste es nicht besser. Ich habe eine bessere Antwort. Der Raum ist mindestens lokal ein absolutes Medium mit fluiden Eigenschaften. Wäre dies nicht so, dann wäre die Rotation relativ und es würden keine Trägheitskräfte auftreten. Bei Rotationen werden aber Trägheitskräfte beobachtet. Man kann das auch verallgemeinern. Eine beschleunigte Bewegung müsste ganz allgemein (also auch bei der Translation in einer Richtung) ohne lokal absoluten Raum kräftefrei sein. Auch das wird nicht beobachtet. Born liegt also völlig falsch.

Aus der Metrik - wie sie z.B. bei der rotierenden Scheibe beschrieben ist - ergibt sich die formal gleiche Zeitdilatation wie bei Translation

Die Metrik einer rotierenden 1kg-Scheibe ist so gut wie flach. Sind wir uns darüber einig?

...Das ist dann nicht eine LT mit konstantem v, sondern zu jedem Zeitpunkt liegt eine andere LT mit einem v(t) vor - womit dann die Transformation zeitabhängig ist.

Ja natürlich, wenn die Lorentz-Transformation ein lokales reales Phänomen ist, dann ist das doch völlig klar.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 11 Sep 2018 11:08 #41962

Das/ein Problem liegt wohl darin, dass du den Begriff "Lorentztransformation" nicht verstehst und deshalb falsch verwendest.
Das ist nämlich weder ein physikalischer Prozess noch die mathematische Beschreibung eines solchen sondern schlicht ein Koordinatenwechsel. Die relativistische "Korrektur" der Galileotransformationen. Ergo ergibt es auch gar keinen Sinn zu sagen "Es braucht nur ein Bezugssystem".

Edit:

Hab mir mal den Abschnitt über das Ehrenfestsche Scheiben-Paradoxon durchgelesen. Die Erklärung überzeugt mich nicht. Ich sehe keinen Grund, warum sich die geänderte Metrik nicht aus der Lorentz-Transformation ergeben sollte. Bei gleichförmigen Translationen führen die Lorentz-Transformationen doch auch zu einer geänderten Metrik.

Nun, dass die "Erklärung" dich nicht "überzeugt" liegt wohl daran, dass du den Text nicht verstehst. (Und den Begriff "Metrik". Was willst du denn mit "ich sehe keinen Grund, warum sich die geänderte Metrik nicht aus der Lorentz-Transformation ergeben sollte." sagen?)

Was hast du denn an dem Abschnitt auszusetzen? Der Autor hat die Metrik der Scheibe berechnet. Punkt. Da gibts nicht viel Spielraum für Interpretationen.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 11 Sep 2018 12:24 #41967

Ferragus schrieb: Das ist nämlich weder ein physikalischer Prozess noch die mathematische Beschreibung eines solchen sondern schlicht ein Koordinatenwechsel.

Und wenn es mehr ist als das? Was ist, wenn es real stattfindet? Dann könnte man sehr elegant Trägheitskräfte damit beschreiben. Beschleunigte Bewegungen sind ja absolut.

Nun, dass die "Erklärung" dich nicht "überzeugt" liegt wohl daran, dass du den Text nicht verstehst. (Und den Begriff "Metrik". Was willst du denn mit "ich sehe keinen Grund, warum sich die geänderte Metrik nicht aus der Lorentz-Transformation ergeben sollte." sagen?)

Oder ich verstehe den Begiff Metrik sehr gut und sehe daher die Schwachstelle der Relativitätstheorie.

Was hast du denn an dem Abschnitt auszusetzen? Der Autor hat die Metrik der Scheibe berechnet. Punkt. Da gibts nicht viel Spielraum für Interpretationen.

Was soll den das für eine Metrik sein. Die müsste ja dann mitrotieren. Wie beim Frame-Dragging der Kerr-Lösung für SL. Und das bei einer kleinen rotierenden Scheibe? Das kann mir doch keiner erzählen. Das ist Blödsinn. Die Metrik einer kleinen rotierenden Scheibe ist so gut wie flach. Man muss einfach konstatieren, dass die Relativitätstheorie keine real auftretenden Trägheitskräfte durch Beschleunigung erklären kann.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 11 Sep 2018 13:50 #41970

Och Gottchen, das hat noch nicht mal unbedingt was mit Physik oder Relativitätstheorie zu tun sondern mit Mathematik.

Das ist, als würdest du sagen "die Gleichung x^2=1 hat nur eine reelle Lösung". Wenn du also bestreitest, dass die Metrik diese ist, dann heißt das a) du denkst, er hat in der - sehr kurzen - Rechnung einen Fehler gemacht oder b) du weißt eben doch nicht, was eine Metrik ist.

Ich hatte gehofft, du willst vlt. wirklich ein bisschen was über die Lorentzgruppe lernen oder darüber diskutieren, aber du bist wohl zu verbohrt und arrogant, zu merken, dass du (was ja prinzipiell nicht schlimm ist) einfach keine Ahnung hast.

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 11 Sep 2018 13:54 #41971

Ferragus schrieb: Och Gottchen, das hat noch nicht mal unbedingt was mit Physik oder Relativitätstheorie zu tun sondern mit Mathematik.

Auch kein Argument. Richtige Mathematik kann auch auf falschen Annahmen beruhen. Jetzt mal Butter bei die Fische: Reden wir hier über die Kerr-Metrik bei einer kleinen rotierenden Scheibe? Und welche Metrik solls den sein, wenn ich in eine feste Richtung beschleunige?

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Was versteht man unter der Lorentz-Gruppe? 11 Sep 2018 14:52 #41974

Lange hat es ja nicht gedauert um von einer scheinbar wissenschaftlichen Diskussion über die Lorentz-Gruppe zu

Max Born wusste es nicht besser. Ich habe eine bessere Antwort. Der Raum ist mindestens lokal ein absolutes Medium mit fluiden Eigenschaften.

zu kommen.
Das ist eine alternative Theorie für die es ja (noch) einen eigenen Forenbereich gibt. Hier hat das nichts zu suchen.

Ferragus hat geschrieben: Ich hatte gehofft, du willst vlt. wirklich ein bisschen was über die Lorentzgruppe lernen oder darüber diskutieren

Hier ging es offenbar immer nur darum eine Privattheorie zu verbreiten

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