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THEMA: Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum

Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 03 Feb 2018 23:11 #27168

Hallo Zusammen,
wir nähern uns jetzt der Quantenmechanik. Das nächste Video von Josef liefert den Einstieg.
Wie kam Max Planck auf seine Hilfskonstante?
Super erklärt, aber , wie ich finde, muss man die Entwicklung der e - Funktion verstanden haben, sonst fehlt es am Basisverständnis.
Im Exponenten steht ein Bruch und oben steht die Energie und unten steht k x T.
Lasst uns das näher betrachten, wie das genau zu verstehen ist, damit man dann sieht, wie die e - Funktion im Gesamtzusammenhang wirkt.
Wir sollten uns diese Mühe machen, damit das vielen wirklich klar wird.
VG
Thomas

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 04 Feb 2018 00:21 #27175

Ein bißchen schnell war auch der Punkt, an dem Josef erwähnt, daß durch die Einsetzung von h in die Gleichung Sprünge bei der Energie entstehen. Hier habe ich ein paar Worte zur mathematischen Herleitung dieser Konsequenz vermißt.

Glaube nichts, weil ein Weiser es gesagt hat. Glaube nichts, weil alle es glauben. Glaube nichts, weil es geschrieben steht. Glaube nichts, weil es als heilig gilt. Glaube nichts, weil ein anderer es glaubt. Glaube nur das, was Du selbst als wahr erkannt hast.

Buddha
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Buddha

Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 05 Feb 2018 00:43 #27235

Bertrachten wir nur erst mal den Exponenten der e - Funktion, die im Nenner steht. h x nü durch k x T.
Wie entwickelt sich dieser Exponent, wenn die Temperatur eines idealen Gases zunimmt.
Wir haben einen Kasten, der innen schwarze Wände hat und ein Loch in einer Wand, das mit einer Glasscheibe verschlossen ist, damit das Gas, das wir erhitzen wollen, nicht entweichen kann.
Wenn das Gas jetzt heiß wird, dann nimmt die Temperatur des Gases zu ( T)und auch die Energie der durch das Loch entweichenden Photonen (h x nü).
Wie müssen diese Verhältnisse zueinander jetzt beschaffen sein, damit die e - Funktion im Nenner zu einer Umkehr der Gesamtfunktion führt, die am Ende zu einer Zusammenfügung der Messkurven von Jeans und Wien führen.
Naja, sie müssen zu einem wachsenden Exponenten in der e - Funktion führen, damit die e - Funktion des Nenners mächtiger wird als die Expotentialfunktion des Zählers.
Dann kehrt sich die Kurve um, unendlich klein können die Wellenlängen der Photonen oder die Energien groß, ja nicht werden.
Man muss sich erst klar machen, was da mathematisch passiert und dann sich auf die Physik dahinter konzentrieren.
Und jetzt erst wird es richtig spannend, denn jetzt kommt die Bedeutung des Plankschen Wirkungsquantums als Konstante zum tragen. Warum braucht man die, damit die Schwarzkörperstrahlung erklärbar wird.
Ich glaube, dass da das Verständnis bei vielen Mitlesern zu versagen beginnt, bei mir auch, ich hab damit auch ein Verständnisproblem.
In der Mathematik des Zusammenhangs braucht man h eigentlich nicht. In der Physik ist aber h unentbehrlich.
Die Hilfsgösse h wird nur notwendig über die Vorkonstanten und vereinfacht sich über die Linearisierung.
Dass daraus eine universelle Naturkonstante werden würde, hat Planck wahrscheinlich selber nicht geahnt.
Er wollte ja nur die mathematische Beschreibung mit den experimentellen Vorgaben in Einklang bringen.
Jedenfalls seh ich das im Augenblick so, vielleicht irre ich da aber.
VG
Thomas

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 05 Feb 2018 06:44 #27236

Zunächst nochmal zur Exponentialfunktion: Diese wächst stärker als jede Potenz. Betrachtet man eine Funktion f(x) = xa/ex.
Diese steigt zunächst an und hat ihr Maximum bei x=a. Dann fällt sie relativ stark stark ab und geht gegen 0.

Am Samstag hat Josef auf seinem Vortragstag erzählt, dass Max Planck die Konsequenzen der Quantisierung durchaus bewusst war. Diese Quantisiserung ist auch die Erklärung, dass es nicht zur Ultraviolett-Katastrophe kommt. Dadurch dass nur wenige quantisierte Zustände eingenommen werden können, nimmt die Emission hin zu höheren Energien wieder ab.

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 05 Feb 2018 15:00 #27257

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@Clauss: Ich hab die funktion f(x) = xa/ex mal in wolfram-alpha reingepackt.

Kurvendiskussion ( incl. grafischer Darstellung für verschiedene a und für x = [-5..5] )

Für kleine a so bis etwa 3 noch überschaubar :)

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 05 Feb 2018 15:42 #27261

Die Eigenschaften der e-Funktion werden auch alle recht klar, wenn man ihre Darstellung als Reihe,
\( e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + ...,\)
anschaut.

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 06 Feb 2018 00:16 #27308

Hi Claus,
die Begrenztheit der möglichen Zustände zwingt die e - Funktion zur Umkehr.
Dadurch, dass nur wenige quantisierten Zustände eingenommen werden können, nimmt die Emission hin zu höheren Energien wieder ab. Hochenergetische Photonen, also Photonen, deren Energie größer ist, als die, die mit unserer gewohnten Umgebung wechselwirken, erfahren auch keine quantisierten Wechselwirkungen mehr. D.h. Sie fallen aus dem Wechselwirkungsfenster, das die Atome ihnen liefern, wieder heraus.
Wenn das richtig ist, was ich da sage, dann gilt das quantisierte Wechselwirkungsfenster nur für Photonen und Atomhüllen , deren Energiegrössen zusammenpassen.
Nur über die Quantisierung innerhalb eines gewissen Energiespektrums und die zugehörigeEnergiebilanz beschreibt die zugehörige Mathematik das richtige Naturverhalten.
Mit einem kontinuierlichen Energieverhalten lässt sich dieses Verhalten der Schwarzkörperstrahlung also nicht verstehen, mit einer quantisierten WW in einem eingeschränkten Energiebereich schon.
Genau das ist der Schlüssel für das Verständnis.
VG
Thomas

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 07 Feb 2018 15:21 #27474

Hallo, war lange nicht hier, erstmal vielen Dank an alle.
Also: so richtig verstehe ich den Grund der Quantisierung durch h auch nicht. Vielleicht liegt es für mich daran,
1) dass bisher noch nicht genug der Hintergrund der Quantenmechanik, insbesondere die Materiewellen nach De Broglie (relativ einfache Beziehung) erklärt wurde.
2) Außerdem ist auch noch kein wirklich konkretes Zahlenbeispiel mal durchgerechnet worden, an dem man die Quantisierung wirklich sieht. (Z.B. mal eine diskrete Wellenlänge aus dem H-Spektrum).
3) Ist die eigentliche Gleichung E = h * f in ihrer Konsequenz, nämlich z.B. dass für f = const. auch E = const. sein muss, da h = const. ist, noch nicht ausreichend anschaulich geklärt.
4) Es wird die Bolzmannkonstante k einfach so hergenommen, als ob sie nur aus theoretischen Überlegungen als Konstante zum Geradebiegen der Kurve nützlich sei. Dabei ist gerade k doch für Max Planck eine wesentliche Grundlage gewesen, um überhaupt auf h und die Quantisierung zu kommen (siehe Video von Planck gesprochen, 1942). Gerade wegen k war Boltzmann ja zunächst einsamer Verfechter der Atomistik, die ja in sich historisch gesehen auch schon eine Art Quantisierung (hier von Materie in Atomen) darstellte. Erst die bereitete ja den Weg zum Verständnis der Quantisierung der Energie über die Zeit bzw. der Wirkung. Es müsste also eigentlich auch die statistische Thermodynamik mal wenigstens beispielhaft angerissen werden, um die Bedeutung von k auch nur annähernd zu verstehen.

Wenn 1) bis 4) nicht klar ist, (und das ist mir noch nicht klar), dann macht es zumindest für mich keinen Sinn, die obigen total komplizierten Gleichungen zu besprechen, mein Gehirn braucht erstmal einfache Beispiele und Anschauungen und dann viel viel kleinere Schritte...

Vielen Dank, vielleicht haben Sie, Herr Gassner ja Lust, das mal anzureißen. Bisher habe ich nämlich die vorherigen Videos nicht nur genossen, sondern auch ganz gut verstanden.

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 07 Feb 2018 15:49 #27476

Phmpg schrieb: 3) Ist die eigentliche Gleichung E = h * f in ihrer Konsequenz, nämlich z.B. dass für f = const. auch E = const. sein muss, da h = const. ist, noch nicht ausreichend anschaulich geklärt.

Was genau meinst du, also was soll man erklären? Also da steht ja genau das, was du gesagt hast, dass Energie und Frequenz proportional sind.

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 07 Feb 2018 16:48 #27484

Z.B. im Vergleich mit dem Ohmschen Gesetz R = const. mit R = U/I. Hier ist R auch eine Konstante und die Gleichung hat exakt dieselbe Form wie h = E / f. aber aus R = U/I geht keineswegs so einfach hervor, dass die Spannung oder die Stromstärke quantisiert ist, bei Planck aber schon! Wo ist also der Unterschied? Das ist nicht geklärt, jedenfalls nicht für mich.

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Licht 07 Feb 2018 16:57 #27488

Du vermischst zwei Aussagen. Dass die Energie eines Photons proportional zur Wellenlänge ist, heißt nicht, dass diese Energie oder Wellenlänge nur diskrete Werte annehmen können. Tatsächlich ist ja prinzipiell jede Wellenlänge oder Energie möglich. Aber ein Photon kann nur als ganzes erzeugt oder vernichtet werden oder anders gesagt: Licht mit der Wellenlänge f kann nur Vielfache der Energie h*f abgeben - diese Aussage steckt aber nicht in der obigen Gleichung.

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Licht 07 Feb 2018 22:49 #27514

Ferragus,
stimmt so. Aber eine Ergänzug ist angebracht. Die Energie der Photonen ist kontinuierlich durchstimmbar. Die Energie von freien Photonen kann also jeden Wert annehmen.
Die Quantisierung kommt erst ins Spiel, wenn Photonen mit Materie in Wechselwirkung treten.
Also wenn Photonen auf die Hüllen von Atomen oder Molekülen treffen. Dort gibt es bereits vorhandene Felder und Energieverhältnisse, die dafür sorgen, dass nur Photonen, die die richtigen Energieportionen ihr eigen nennen, mit diesen Hüllen oder Feldern in Wechselwirkung treten können. Diese Wechselwirkungsportionen sind ganzzahlig, also n = 1,2,3,....
Bestehen die ankommenden Photonen aus keinen brauchbaren Portionen, lässt das die Elektronen der Atomhüllen völlig kalt.
Beispiel: eine Radiowelle (sind auch Photonen) geht durch diese Atome, Moleküle ungehindert durch.
Die Quantisierung kommt also erst zum Tragen, wenn die Elektronen in den Atomhüllen verwertbare Photonenenergien angeboten bekommen. Erst dann kommt es zu einem Energieaustausch.
Ich hab das jetzt nur ergänzend angefügt, nicht unterstellend, dass du das nicht auch wüsstest.
LG
Thomas

PS: Das Ohmsche Gesetz hat zwar die gleiche mathematische Form wie die Energiegleichung, enthält aber keine Konstante. R,U und I sind alle drei variabel, makroskopische Beschreibungsweise des Elektrischen Stromes. Erster Unterschied! Weiterer Unterschied: wir befinden uns mit der Energiegleichung im Mikrokosmos, also im Bereich der WW einzelner Elementarteilchen.

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Licht 08 Feb 2018 06:20 #27524

Thomas schrieb: PS: Das Ohmsche Gesetz hat zwar die gleiche mathematische Form wie die Energiegleichung, enthält aber keine Konstante. R,U und I sind alle drei variabel, makroskopische Beschreibungsweise des Elektrischen Stromes. Erster Unterschied! Weiterer Unterschied: wir befinden uns mit der Energiegleichung im Mikrokosmos, also im Bereich der WW einzelner Elementarteilchen.


R, U und I sind nur dann alle drei variabel, wenn das Ohmsche Gesetz nicht gilt. Das Ohmsche Gesetz besagt ja gerade, dass der Widerstand R konstant ist. Das gilt natürlich nur für sehr wenige Fälle. Aber gerde auf diese Fälle wollte ich hinaus (z.B. wenn die Temperatur konstant ist bei reinen Metallen) sonst hätte ich nur von der Definition des Widerstands gesprochen, wo du sicher Recht hast. Aber auch beim Ohmschen Gesetz ist ja nicht einfach abzuleiten, dass irgendetwas auch quantisiert ist. Natürlich weiß ich, dass hier von der markoskopischen Welt die Rede ist und bei Lichtquanten es sich um mirkoskopische Teilchen handelt, aber auch in der makroskopischen Welt hat das ja Auswirkungen. Siehe Franck-Hertz-Versuch und der photoelektrische Effekt.

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Licht 08 Feb 2018 08:05 #27525

R,U und I sind zwar aufeinander bezogen, können aber jeden beliebigen Wert annehmen, h nicht.
Im Photoeffekt berühren sich die zwei Beschreibungsweisen, mischen tun sie sich nicht. Sie sind ja auch zeitlich hintereinander geschaltet. Die Photonen schlagen erst die Elektronen aus der Metallfolie und dann erst fließt der Strom.

Thomas

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Licht 08 Feb 2018 08:06 #27526

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JA also bei URI ist nur der Idealwert zu berechnen, diesem gibt es jedoch bei Plank nicht, der schwankt da immer nach etlichen Komma stellen. Alle 3 Werte sind eine Variabel. Somit ist diese Konstante des Widerstandes nur als ein Momentanwert zu betrachten.
Begeben wir uns auch noch ins Makroskopische, dann wird es ein Unterschneid machen ob ich exakt selben Versuchs Aufbau im Keller oder im Dritten Obergeschoss mache.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 21 Mär 2018 21:13 #29588

Hallo beinand,

Formeln und sind leider nicht deshalb miteinander vergleichbar, weil andere Buchstaben die gleiche Anordnung in der Formel haben (wie ein Ohmsches Gesetz).

Das Besondere an h ist, dass es für ein schwingendes physikalisches System einer bestimmten Frequenz aussagt, dass die Energie nur in Vielfachen n von dem h * f auftreten kann, also ΔE = n * h * f. Die minimal mögliche Energie ΔE min ist ΔE min = 1 * h * f. Eine kleinere Wirkung gibt es nicht. Und es gibt keine Zwischenenergien, sondern nur n = 1, 2, 3 ...
-> Die Aufsummierung solcher quantisierter Energien nimmt also einen ganz anderen Verlauf (das Plancksche Strahlungsspektrum) als wenn man unendlich viele Energien dazwischen auch noch mit aufsummieren müsste (= Summe unendlich).

-Zweistein

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 21 Mär 2018 21:28 #29589

Und nochmal ein Hallo beinand,

Wenn es von der e-Funktion heißt, dass sie sich gegenüber jeder(!) anderen Funktion (wie beispielsweise linearen Funktionen oder Potenzfunktionen) durchsetzt, so ist gemeint:
Wenn man im Koordinatensystem immer weiter vom Nullpunkt nach rechts oder links geht und in der abgebildeten Funktion eine e-Funktion beteiligt ist, so muss man nach rechts (oder eben links) nur schauen, was die e-Funktion dort macht (beispielsweise: geht gegen plus unendlich. Oder: geht gegen minus unendlich. Oder: geht vom positiven Bereich gegen Null. Oder: geht vom negativen Bereich gegen Null), um sagen zu können, was die Gesamtfunktion dort macht: Steht die e-Funktion im Zähler, so macht die Gesamtfunktion das Gleiche. (Und umgekehrt, wenn sie im Nenner steht: Minus bleibt minus, plus bleibt plus, aber statt gegen Null dann gegen Unendlich und statt gegen Unendlich dann gegen Null).
Die e-Funktion dominiert dort alle anderen Funktionen.

-Zweistein.

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Quantenmechanik, planksches Wirkungsquantum 29 Mär 2018 11:11 #29950

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Vielleicht klärt dieser Aufsatz von Planck den Zusammenhang zwischen der rein mathematischen Findung einer Formel für die Strahlung und der Quantenwelt auf Basis h? :-)
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