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THEMA: Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut?

Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 13:07 #33555

Sowohl in der Schrödingergleichung wie auch in der Dirac-Gleichung sowie QFT sind komplexe Zahlen eingebaut, um mathematisch einfacher mit Wellen rechnen zu können. Insbesondere was das Superpositionsprinzip anbelangt. Zurück geht dies auf die berühmte Euler-Gleichung , die die wesentlich leichter handhabbare natürliche Exponentialfunktion mit der Trigonometrie verknüpft:
\[e^{iy}=cos(y) + i\cdot sin(y)\]
Durch die komplexe Zahl \(i\) (wobei gilt: \(i^2=-1\)) hat man sich jedoch dabei insbesondere in der Dirac-Gleichung eine Antimaterie mit negativer Energie bzw. positiver Energie und rückwärts gerichtetem Zeitpfeil eingehandelt.

Was wäre also die Alternative zur Eulergleichung gewesen? Die trigonometrischen Additionstheoreme . Es geht mir hier nicht darum darzulegen, dass die entsprechende Mathematik mit Additionstheoremen so gut wie nicht zu handhaben ist. Vielmehr geht es mir darum zur Diskussion zu stellen, dass es grundsätzlich theoretisch auch ohne komplexe Zahlen geht. Da die Natur selbst keine Mathematik benötigt hat sie meiner Meinung auch keine komplexen Zahlen "in sich" eingebaut. Insofern gäbe es auch im Grunde keine negativen Energien und keinen rückwärts gerichteten Zeitpfeil.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 14:17 #33561

  • sebp
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Sehe ich genau so.
Mathematik ist erst mal nur Mathematik,
ob etwas an "exotischen" Lösungen/Deutungen dran ist, muss das Experiment dann entscheiden.

Tachyonen oder gekrümmte Raumzeit sind auch Beispiele für Mathematik die als Physik verstanden wird.
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 15:22 #33566

Also meiner Meinung nach stellt die Benutzung der Eulergleichung mit der entsprechenden Einführung von komplexen Zahlen bereits eine (möglicherweise unnötige) Eichung des Zahlenbereichs bzw. einen mathematischen Symmetriebruch dar, den man sich in den Gleichungen der Quantenmechanik eingefangen hat.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 19:50 #33596

Wenn die Rechnung mit komplexen Zahlen zu guten Ergebnissen führt, ist es doch sinnvoll. Auch wenn es in der Natur keine komplexzahligen Größen gibt, können diese die Rechnung vereinfachten. Die Natur muss ja nicht rechnen. Aber wenn Du eine Rechnung ohne komplexe Zahlen findest, die die gleichen Ergebnisse liefert, wird sich niemand beschweren. Mit einem analogen Computer kann man Vorgänge der Natur simulieren und unmittelbar ganz ohne Zahlen berechnen. Das schöne an Zahlen ist, dass sie eindeutig sind. Eine analoge Größe ist immer mit der Messgenauigkeit behaftet, selbst wenn sie nur 0 oder 1 darstellen soll.
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 20:25 #33597

Die Operatoren der QM sind so gestaltet, daß die Eigenwerte immer reell sind. Nur innerhalb der Operatoren kommen komplexe Zahlen vor.

Nichtsdestotrotz halte ich die imaginären Zahlen für genauso existent wie die reellen, da sie nicht zu logischen Widersprüchen führen. Man könnte ja ebenso fragen, ob es Brüche gibt oder negative Zahlen, jedenfalls sehe ich keine halben Sterne oder eine negative Zahl von Kugelschreibern in meinem Büro.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 21:12 #33602

Die Dirac-Gleichung liefert aufgrund der Einbindung komplexer Zahlen Lösungen für Elektronen mit negativer Energie: Antielektronen=Positronen. Gemäss der aktuell gültigen Feynman-Stückelberg-Interpretation wird aus diesem Elektron mit negativer Energie ein Elektron mit positiver Energie, einer inversen Ladung, einem gespiegelten Raum und umgekehrter Zeitrichtung gedeutet. Die Wellenfunktion eines Elektrons mit negativer Energie entspricht demnach der Wellenfunktion eines Positrons, das sich in einem gespiegelten Raum rückwärts in der Zeit bewegt. Diese Rückwärtsbewegung in der Zeit könnte man sich durch eine Gleichung ohne Verwendung komplexer Zahlen ersparen. Es ginge nur noch um verschiedene Ladungen und man könnte eine Rückwärtsbewegung in der Zeit als das betrachten, was es meiner Meinung nach ist: unphysikalisch.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 21:29 #33606

Eine Rückwärtsbewegung in der Zeit könnte aber auch auf einen Determinismus schließen lassen.

Da wir nicht wissen, was Zeit überhaupt ist, ist das alles eh nur Spekulation. Man muß ja zudem nicht die Zeit rückwärts laufen lassen, wie Du schon selbst bemerkt hast. Die Sichtweisen sind symmetrisch und offen für verschiedene Interpretationen. Die QM sollte aber grundsätzlich nicht mit zu vielen Begriffen und Vorstellungen aus unserer beschränkten Alltagssicht belegt werden.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 21:59 #33611

Zeit ist Entropiezunahme. Und wenn man die Zeit nicht rückwärts laufen lässt, handelt man sich mit komplexen Zahlen ein Teilchen mit negativer Energie ein, dass eigentlich nur eine entgegengesetzte Ladung hat.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 22:56 #33614

Die Zahlen sind nur Symbole für reale Zustände. Ob Du ganze Zahlen, komplexe Zahlen oder bunte Zahlen benützt spielt keine Rolle, solange die Rechenregeln mit diesen Zahlen die Vorgänge in der Natur gut beschreiben. Was die komplexen Zahlen dann am Ende bedeuten oder ob sie überhaupt eine Realität widerspiegeln, ist sozusgaen Glückssache bzw Fingerspitzengefühl bei der Konstruktion der Formeln.
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Mai 2018 23:49 #33617

Also meiner Meinung nach stellt die Benutzung der Eulergleichung mit der entsprechenden Einführung von komplexen Zahlen bereits eine (möglicherweise unnötige) Eichung des Zahlenbereichs bzw. einen mathematischen Symmetriebruch dar, den man sich in den Gleichungen der Quantenmechanik eingefangen hat.

Hier wird einiges durcheinander geworfen...
1.) Komplexe Zahlen als Wertebereiche stellen weder eine Eichung noch einen Symmetriebruch dar. Jede Berechnung in der klassischen Mechanik kann als basierend auf der komplexen Zahlenebene verstanden werden mit Imaginärteil null - die reellen Zahlen sind ja darin eingebettet.
2.) Die Folgerung nach Antimaterie in der Diracgleichung entsteht nicht durch komplexe Zahlen, sondern durch Spinoren. Spinoren hat Dirac eingeführt, da die Schrödingergleichung weder lorentzinvariant ist noch Polarisationen (beispielsweise Spins) trägt. Eine erfolgreiche Beschreibung gelang erst mit 4 Polarisationsgraden - ergo zwei für das Elektron und zwei für das Positron.
3.) Zur Argumentation der Entropie: Die Diracgleichung beschreibt z.B. ein Elektron (im Vakuum). Wenn sich die Zeit hierbei aus der Entropie ergibt, wie wäre dann die Entropie definiert für ein Elektron im Vakuum? In der Quantenfeldtheorie werden wir sehen, dass der Zeitbegriff offensichtlich ein anderer sein muss...
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 09:30 #33628

Ja, schon klar. Was ich aber meinte war: Es geht doch offensichtlich auch ohne komplexe Zahlen. Dadurch wären doch negative Energien oder ein negativer Zeitpfeil als Lösung in der Dirac-Gleichung ausgeschlossen. Dann hätten sich doch die ganzen Diskussionen, ob es negative Energie, negative Masse oder einen rückwärts gerichteten Zeitpfeil geben kann, erledigt. Es wäre einfach nur ein mathematisches Artefakt des Imaginärteils.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 11:04 #33631

Bitte Punkt 2) im vorausgegangenen Kommentar nochmals lesen. Antimaterie ist kein reines Vorzeichenartefakt. Antimaterie hat auch keine negative Energie oder negative Masse. Antimaterie hat die identische positive Masse wie Materie. Populärwissenschaftlich ist es instruktiv zu sagen "Da gibt es noch eine Lösung, vergleichbar dem Quadrat von -2 und 2, das jeweils 4 ergibt". Für ein tiefer gehendes Verständnis braucht es in der Diracgleichung 4-wertige Spinoren für die Polarisation. Für ein Verständnis dafür, dass Positronen als Elektronen aufgefasst werden können, die sich in der Zeit rückwärts bewegen sollten wir auf die Videos zur Quantenfeldtheorie warten. Vorab fürchte ich, wird sich die Verwirrung nur noch vergrößern...
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 11:24 #33634

Ja, das ist mir klar. Trotzdem, tieferes Verständnis hin oder her, rein mathematisch formal: die Überlagerung von Wellen und die Formulierung von Spinoren geht doch mathematisch auch ohne komplexe Zahlen. Klar ist es einfacher mit. Aber darum geht es nicht. Die Natur interessiert sich nicht für Mathematik. Wenn komplexe Zahlen nicht zwingend notwendig sind, d.h. reelle Zahlen ausreichen, kann die komplexe Zahlenebene auch nicht in die Natur "eingebaut" sein. Soll heissen: man muss doch die Schrödingergleichung und die Dirac-Gleichung auch ohne i formulieren können. Oder aber ein Haufen Gleichungen mit Gültigkeitsbereich von reellen Zahlen, der mathematisch äquivalent zu den beiden ist.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 14:46 #33646

Michael, schau dir doch dazu einmal die Feynman Lectures auf der Homepage des CalTech an. Natürlich ersetzt das keinesfalls die noch kommenden Folgen von Aristoteles zur Stringtheorie, aber es sollte deine Wissensdurst bis dahin auf ein erträgliches Maß senken können :)

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 15:01 #33650

Madouc99 schrieb: Michael, schau dir doch dazu einmal die Feynman Lectures auf der Homepage des CalTech an.

Ich sehs mir mal an.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 15:05 #33651

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Michael D. schrieb: Wenn komplexe Zahlen nicht zwingend notwendig sind, d.h. reelle Zahlen ausreichen

Bedenke, dass komplexe Zahlen sowohl einen reellen Anteil beinhalten, als auch einen imaginären. Und wie Herr Gaßner richtig sagt, Antimaterie hat nur eine unterschiedliche Ladung, keine unterschiedliche Masse. Das wären andere Teilchen! :)

MfG
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 15:51 #33654

Weiss ich doch alles schon. Bin kein mathematischer Laie. Antiteilchen haben die unschöne Eigenschaft in der Zeit rückwärts zu laufen. Sehr unschön und mathematisch vermeidbar.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 22 Mai 2018 19:00 #33665

Josef M. Gaßner schrieb: die sich in der Zeit rückwärts bewegen

Kommt es nicht aufs gleiche heraus, ob Masse aus der Zukunft zu uns kommt oder ob negative Masse von uns in die Zukunft geschickt wird?

Ich frage mich, wenn im Labor Antimaterie aus Energie hergestellt wird, sollte sie ja positive Masse=Energie in die Zukunft transportieren, das wäre dann das Gleiche wie negative Masse aus der Zukunft zu bringen, wenn es schon zeitrückläufig sein soll, was ja auch durchaus Sinn ergibt.

Wenn es ein zeitrückläufiger Transport von positiver Masse wäre, die sich dann in normale Materie verwandelt, wäre ja für das Experiment gar keine Energie erforderlich, vergleichbar mit einem Transport negtiver Masse in normaler Zeitrichtung.

:grübelnd: :S
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 18 Okt 2018 10:55 #43647

Es wird Zeit, diesen Thread mal wieder zu beleben. Inzwischen haben wir ja die komplexen Zahlen als festen Bestandteil der QM akzeptiert. Ich möchte nur nochmal darauf hinweisen, dass es sich dabei nur um ein mathematisches Hilfsmittel handelt, um Schwingungen mathematisch einfacher zu beschreiben. Mehr nicht. Es gibt keine zusätzliche komplexe Ebene in der Natur. Die Natur besteht nach wie vor nur aus drei Raumdimensionen. Komplexe Zahlen sind zur Beschreibung von Schwingungen und Drehungen nicht zwingend erforderlich. Nicht dass einer auf die Idee kommt, die komplexe Zahlenebene sei eine reale zusätzliche Dimension.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 19 Okt 2018 18:14 #43693

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 19 Okt 2018 20:00 #43696

Michael D. schrieb: Es gibt keine zusätzliche komplexe Ebene in der Natur. Die Natur besteht nach wie vor nur aus drei Raumdimensionen.



Beweis? Und zwar so absolut, wie Deine Aussage, also reicht mir die Wirkung von Kugelwellen nicht....

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 19 Okt 2018 20:11 #43698

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sebp schrieb: Mathematik ist nicht Physik, muss man Wissen...


Das behauptet auch kein Mensch.
Nur kannst Du keine Physik, ich nenn's mal, betreiben ohne Mathematik und je intensiver man sich mit Physik auseinandersetzen will, desto nötiger und umfangreicher wird das mathematische Rüstzeug.
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 20 Okt 2018 07:53 #43709

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Michael D. schrieb: Es wird Zeit, diesen Thread mal wieder zu beleben. Inzwischen haben wir ja die komplexen Zahlen als festen Bestandteil der QM akzeptiert. Ich möchte nur nochmal darauf hinweisen, dass es sich dabei nur um ein mathematisches Hilfsmittel handelt, um Schwingungen mathematisch einfacher zu beschreiben. Mehr nicht. Es gibt keine zusätzliche komplexe Ebene in der Natur. Die Natur besteht nach wie vor nur aus drei Raumdimensionen. Komplexe Zahlen sind zur Beschreibung von Schwingungen und Drehungen nicht zwingend erforderlich. Nicht dass einer auf die Idee kommt, die komplexe Zahlenebene sei eine reale zusätzliche Dimension.

Also ich denke doch, dass man durch die Ausnutzung des vollen Spektrums der Komplexen Zahlen (also vor allem auch des imaginären Anteiles) einen zusätzlichen Freiheitsgrad erhält. Ob der nur mathematischer Natur ist, möchte ich bezweifeln.
Er kann einfach ein (zusätzlicher) negativer Bereich einer vorhandener Dimension sein (vielleicht eine zusätzliche Rotationsebene), er könnte durchaus auf eine zusätzliche Dimension hinweisen (siehe die Überlegungen zum Holografischen Prinzip des Universums). oder es könnten eben damit auch Teilchen mit exotischen Eigenschaften bezeichnet werden (negatives Massenquadrat).

MfG
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 20 Okt 2018 20:37 #43741

Physik ist nicht Mathematik. Nicht alles, was mathematisch möglich ist, setzt die Natur auch um. Daher würde ich ohne entsprechende Messergebnisse nicht einfach in der Gegend herumspekulieren.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 20 Okt 2018 21:21 #43743

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"Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer." - David Hilbert :)
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 20 Okt 2018 21:49 #43745

wl01 schrieb: Also ich denke doch, dass man durch die Ausnutzung des vollen Spektrums der Komplexen Zahlen (also vor allem auch des imaginären Anteiles) einen zusätzlichen Freiheitsgrad erhält. Ob der nur mathematischer Natur ist, möchte ich bezweifeln.

Das ist kein echter Freiheitsgrad. Dasselbe erreicht man auch ohne Verwendung komplexer Zahlen. Jegliche Argumente für physikalische Phänomene, die sich auf den Imaginärteil berufen (z.B. die nach wie vor nicht nachgewiesenen Tachyonen), sind daher nicht haltbar und wildeste, irreführende Spekulation.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Okt 2018 07:50 #43753

ClausS schrieb:
Nicht alles, was mathematisch möglich ist, setzt die Natur auch um.

Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Hinter jedem Vorgang in der Natur steckt eine richtige Mathematik. Aufgrund dessen hat sich still und heimlich der Umkehrschluss eingeschlichen, das: Wenn hinter jedem natürlichen Vorgang eine richtige Mathematik steckt, dann steckt auch hinter jeder richtigen Mathematik ein natürlicher Vorgang. Das ist jedoch nicht so.

Ich glaube, es liegt daran, dass die Mathematik Null und Unendlich kennt. Im Extremfall errechnet eine Mathematik, die Null und Unendlich kennt, aus Null unendlich viele Varianten, während die Natur aus Null keine einzige Variante hervorbringen kann.

Errechnet in Mathematiker eine Variante, die man in der Natur nicht so richtig finden kann, dann hilft man gerne etwas nach, indem man sagt: "Dann gibt es halt unendlich viele Universen und in einem davon muss es diese Variante auch geben". Ich glaube, das Multiversum ist nur ein Produkt der Mathematik.
.

Ohne etwas wäre nicht einmal nichts

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Okt 2018 10:29 #43755

Ich persönlich glaube im Allerkleinsten (also noch weit unterhalb der Plancklänge) an ein Hooksches Urkraftgesetz als WW zum nächsten Partner. Aber nicht zum Übernächsten. So emergiert dann schliesslich das Plancksche Wirkungsquantum. Also keine Boltzmann-Stösse sondern Zug und Druck mit Abstandsgesetz (z.B. Hook) als Ursache von Allem.

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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Okt 2018 10:40 #43757

@Michael D.

Deine Begründung ist doch schon Unfug. Wie Du richtig schreibst, gibt es die Eulersche Identität (sic!). Das bedeutet aber auch, daß das Minus für die rückläufige Zeit/negative Energie AUCH DANN rauskommt, wenn man mit den sin/cos-Ausdrücken rechnet, weil an irgendeiner Stelle von der Tatsache cos^2 = 1 - (<= hier) sin^2 Gebrauch gemacht wird oder die zumindest gilt.

Schönen Sonntag
Andreas
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Sind in der Natur wirklich komplexe Zahlen eingebaut? 21 Okt 2018 10:46 #43759

AndreasJB schrieb: Deine Begründung ist doch schon Unfug.

So? Na dann rechne mal was vor.

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