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THEMA: Doppelte Eigenwerte

Doppelte Eigenwerte 05 Okt 2018 02:31 #43087

Ich beschäftige mich gerade mit den mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, und meine Frage ist:

Haben alle in der QM möglichen Observablen (Operatoren) mit diskretem Spektrum nur einfache Eigenwerte? Ich habe gelesen, dass bei einer Messung ein Kollaps eintritt und sich der Zustand für ein Paar Eigenwert + Eigenvektor “entscheidet”. Es ist klar, was hierunter zu verstehen ist, wenn es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor gibt. Was ist aber, wenn z.B. alle Eigenräume zweidimensional wären? Wird diese Möglichkeit auch betrachtet?

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Betreff des ThemasRelevanzDatum des letzten Beitrages
Doppelte Venus - Morgen und Abendstern zugleich6.77Freitag, 17 März 2017

Doppelte Eigenwerte 05 Okt 2018 06:59 #43090

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WebFritzi schrieb: Ich beschäftige mich gerade mit den mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, und meine Frage ist:

Haben alle in der QM möglichen Observablen (Operatoren) mit diskretem Spektrum nur einfache Eigenwerte? Ich habe gelesen, dass bei einer Messung ein Kollaps eintritt und sich der Zustand für ein Paar Eigenwert + Eigenvektor “entscheidet”. Es ist klar, was hierunter zu verstehen ist, wenn es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor gibt. Was ist aber, wenn z.B. alle Eigenräume zweidimensional wären? Wird diese Möglichkeit auch betrachtet?

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Also so weit ich das als Laie verstehe, sind die einzelnen Observabeln lediglich Platzhalter für konkrete Werte, die selbst jedoch bis zum Zeitpunkt der Messung "unbestimmt" sind, also sich in einer Superposition befinden. Auch die Vektoren sind lediglich "normierte Vektoren", die lediglich einen Bereich abdecken, also auf keinen Fall Raumvektoren. Womit sich die Frage der Mehrdimensionalität nicht stellt. Der Inhalt der Observabeln sind lediglich Erwartungswerte des Messergebnisses, also Erwartungswerte der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

MfG
WL01

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WL01

Doppelte Eigenwerte 05 Okt 2018 09:21 #43093

Erstmal danke für die Antwort. Aber du hast, glaub ich, was falsch verstanden. Die Observablen sind feste Operatoren. z.B. gibt es für den Impuls einen festen Operator — den Impulsoperator. Es ist der Zustand, der sich in Superposition relativ zur Eigenbasis des Operators befindet.

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Doppelte Eigenwerte 06 Okt 2018 08:18 #43117

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WebFritzi schrieb: Erstmal danke für die Antwort. Aber du hast, glaub ich, was falsch verstanden. Die Observablen sind feste Operatoren. z.B. gibt es für den Impuls einen festen Operator — den Impulsoperator. Es ist der Zustand, der sich in Superposition relativ zur Eigenbasis des Operators befindet.

Eine Variable, oder eben eine Observable ist immer nur ein Platzhalter. Wenn es nicht so wäre, könntest Du mir ja jederzeit den fixen, allgemeingültigen Zahlenwert für z.B. den Impulsoperator nennen. Insbesonders wäre für mich der Imaginäranteil interessant!

MfG
WL01

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MfG
WL01

Doppelte Eigenwerte 06 Okt 2018 10:09 #43125

Ein Operator und auch ein Zustandsvektor kann ein unendliches Spektrum an Werten einnehmen. Über den Projektionsoperator wird dann wieder ein Zustand (Vektor) erzeugt, der nur reelle Werte hat, die können aber auch wiederein Spektrum sein.
Beispiel: Ortsoperator, Du bekommst dabei nie einen ganz konkret festgelegten Ort heraus, sondern nur einen Ortsbereich.

Glaube nichts, weil ein Weiser es gesagt hat. Glaube nichts, weil alle es glauben. Glaube nichts, weil es geschrieben steht. Glaube nichts, weil es als heilig gilt. Glaube nichts, weil ein anderer es glaubt. Glaube nur das, was Du selbst als wahr erkannt hast.

Buddha

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Buddha

Doppelte Eigenwerte 06 Okt 2018 11:45 #43130

wl01 schrieb: Eine Variable, oder eben eine Observable ist immer nur ein Platzhalter. Wenn es nicht so wäre, könntest Du mir ja jederzeit den fixen, allgemeingültigen Zahlenwert für z.B. den Impulsoperator nennen. Insbesonders wäre für mich der Imaginäranteil interessant!


Entschuldige, aber was du schreibst, stimmt schlicht nicht. Ein Operator ist eine Abbildung und keine Zahl. Hier der Wikilink zum Impulsoperator: de.m.wikipedia.org/wiki/Impulsoperator . Das ist kein Platzhalter, sondern ein fester, wohldefinierter Operator, der eine Funktion auf seine Ortsableitung (mal ih) abbildet.

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Doppelte Eigenwerte 06 Okt 2018 21:33 #43148

Heinz Jürgen schrieb: Ein Operator und auch ein Zustandsvektor kann ein unendliches Spektrum an Werten einnehmen.

In einem unendlichdimensionalen Hilbertraum ist das der Regelfall. Ich nehme an, mit "Spektrum" meinst du, wie üblich, die Eigenwerte bzw. die Werte E, für die A - E * I nicht invertierbar ist.

Heinz Jürgen schrieb: Über den Projektionsoperator wird dann wieder ein Zustand (Vektor) erzeugt, der nur reelle Werte hat, die können aber auch wieder ein Spektrum sein.

Verstehe ich nicht. Was meinst du mit "Spektrum"? Ich kenne nur das Spektrum eines Operators, welches ich oben definiert habe. Ich seheauch nicht, wie dein Beitrag meine Frage beantwortet.

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Doppelte Eigenwerte 07 Okt 2018 11:52 #43162

WebFritzi schrieb: Ich beschäftige mich gerade mit den mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, und meine Frage ist:

Haben alle in der QM möglichen Observablen (Operatoren) mit diskretem Spektrum nur einfache Eigenwerte? Ich habe gelesen, dass bei einer Messung ein Kollaps eintritt und sich der Zustand für ein Paar Eigenwert + Eigenvektor “entscheidet”. Es ist klar, was hierunter zu verstehen ist, wenn es zu jedem Eigenwert genau einen Eigenvektor gibt. Was ist aber, wenn z.B. alle Eigenräume zweidimensional wären? Wird diese Möglichkeit auch betrachtet?

Freue mich über Antworten.


https://de.wikipedia.org/wiki/Entartung_(Quantenmechanik) sollte hilfreich sein.

Falls es Dir darum geht, dass eine Wellenfunktion nach einer Messung gefälligst zu kollabieren habe: Ich denke, in solchen Fällen ist mit der Messung einer Observablen die Wellenfunktion sozusagen nur teilweise (aber eben nicht vollständig) kollabiert, oder anders ausgedrückt: nach einer solchen Messung befindet sich das quantenmechanische System bzgl. anderer Observablen weiterhin im Zustand der Superposition.
Folgende Benutzer bedankten sich: Heinz Jürgen

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Doppelte Eigenwerte 07 Okt 2018 16:10 #43185

@Verena: Vielen Dank. Das beantwortet meine Frage perfekt. Also gibt es solche Observablen (wie z.B. offenbar den Drehimpuls). :)

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