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THEMA: Kurt Gödel

Kurt Gödel 03 Mär 2018 12:30 #28880

Diese Website ist sehr, sehr toll.
Ich würde mir manchmal auch Videos über rein mathematische Themen wünschen,
z.B. über die Kontinuumshypothese, oder zumindest über den Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel
(auch aus wissenschaftstheoretischer Sicht).

Schöne Grüße!

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Betreff des ThemasRelevanzDatum des letzten Beitrages
Gödel - Relativbewegung - dunkle Energie6.41Sonntag, 19 März 2017

Kurt Gödel 03 Mär 2018 13:06 #28883

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Hi,

In der unterhaltsamen Weihnachtsvorlesung 2017 von Weitz geht es im vierten Teil um das gewünschte Thema. Die anderen sind auch sehenswert.
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Kurt Gödel 06 Mär 2018 09:20 #28987

Wow, das einfache, anschauliche Beispiel aus der theoretischen Informatik begeistert mich.
Vielen Dank! :cheer:

Für mich wäre es sehr interessant,
ob es auch zu Paul Cohens Beitrag zur Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese
Anschauungsmaterial (oder Beweisskizzen) gäbe.
Folgende Benutzer bedankten sich: Ropp, borgi64er

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Kurt Gödel 10 Mär 2018 19:46 #29097

Hallo,

die Videos von Hrn. Prof. Dr. Edmund Weitz sind meist sehr gut. Nur das Video über die Gödelschen Unvollständigkeitssätze hat mir nicht so gut gefallen.

MfG
egonotto

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Kurt Gödel 12 Mär 2018 11:14 #29140

Er verwendet die Turing-Vollständigkeit der Programmiersprache. Diese Eigenschaft ist bei den gängigen Programmiersprachen so offensichtlich, dass sie hier nicht extra erwähnt wird. (Runtime-Einflüsse von außen muss man natürlich in diesem Modell ausschließen. Das Programm muss selbständig einen Algorithmus abarbeiten, und darf nicht etwa den User später befragen, ob ein eingegebener Beweis gültig ist oder nicht >> in diesem Modell würden nämlich auch diese Input-Informationen Teil der Start-Eingabeparameter sein) Gödel hatte die Mittel der theoretischen Informatik damals noch nicht so zur Verfügung. Ich empfinde das "Russel-Beispiel" daher als eine einfache kurze Demonstration, die klar zeigt, wie "nahe" ein Problem der Unvollständigkeit eigentlich liegen kann. Weitere (sinnvolle) Beispiele gerne willkommen. Schöne Grüße!

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Letzte Änderung: von camillo. Begründung: Unentscheidbarkeit durch Unvollständigkeit ersetzen (Notfallmeldung) an den Administrator

Kurt Gödel 12 Mär 2018 19:10 #29183

Hallo,

ich beginne hier mal mit einer Antwort, die ich später fortsetzen werde.

Dazu möchte ich eine kleine Geschichte erzählen:

Nach einer Vorlesung kommt ein Student zum Professor und sagt, dass er nicht versteht, warum 0.9999.... gleich 1 ist.

Der Professor erklärt nun:
10 * 0.99999..... ist 9.99999.....
10 *1 ist 10
also
9 * 0.99999... = (10 - 1) * 0.9999.... = 9.999... - 0.999.... = 9 = 9 * 1
Durch 9 dividieren ergibt:
0.9999..... = 1

Nun ist das zwar richtig, aber ich glaub nicht, dass das dem Studenten viel geholfen hat.

Viel besser wär es gewesen, wenn der Professor noch mal erklärt hätte, was mit Konvergenz gemeint ist.

Ähnlich geht es mir mit dem Video. Das Formale verdeckt die Einsicht.

Fortsetzung folgt.

MfG
egonotto

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Wahrheitswert-Kategorien mathematischer Aussagen 12 Mär 2018 23:47 #29216

Ja, ich finde es auch schade, wenn "Professoren" in solchen Geschichten manchmal recht suboptimale "Erklärungen" abliefern.
Für den "Studenten" wäre es sicher hilfreicher, wenn er motiviert werden würde, selber genauer hinzusehen.
Vielleicht in dem er sich überlegt, wo sich der Mittelwert der beiden Zahlen befinden würde,
wenn sie verschieden wären, etc. Er muss ja zumindest zunächst verstanden haben, was es bedeutet, wenn zwei gegebene reelle Zahlen gleich sind oder nicht.

In der Schule, in Vorträgen und in "Weihnachtsvorlesungen" können Beweise oft auch nicht so exakt ausgeführt werden,
wie das in regulären Vorlesungen der Fall wäre. Trotzdem finde ich gerade das Russel-Beispiel sehr inspirierend,
genauer darüber nachzudenken, weil es sehr einfach und direkt in das Thema "Unvollständigkeit der Mathematik" hinein führt.

Eigentlich wird bei dem Russel-Beispiel eine mathematische Aussage ohne sinnvollen Wahrheitswert konstruiert.
Bei der Kontinuumshypothese hat man es aber evtl. mit einer ganz anderen Form von "Wahrheitswert" zu tun.
Wenn ich es richtig verstanden habe, macht es sowohl Sinn, die Kontinuumshypothese als neues Axiom zu definieren,
oder auch das Gegenteil der Kontinuumshypothese. Ich muss also in der Mathematik zwischen
richtigen, falschen, unbewiesenen (=noch unbekannter Wahrheitswert), unentscheidbaren und "ohne sinnvollen Wahrheitswert"- Aussagen unterscheiden.
Andere Kategorien könnte ich mir im Moment nicht vorstellen. Hab ich das richtig verstanden?

Schöne Grüße

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Wahrheitswert-Kategorien mathematischer Aussagen 13 Mär 2018 01:01 #29217

Hallo,

camillo schrieb: "Ich muss also in der Mathematik zwischen
richtigen, falschen, unbewiesenen (=noch unbekannter Wahrheitswert), unentscheidbaren und "ohne sinnvollen Wahrheitswert"- Aussagen unterscheiden."

Folgendes würde ich unterschreiben:
"Ich muss also in der Mathematik zwischen
richtigen, falschen, unbewiesenen (=noch unbekannter Wahrheitswert), und unentscheidbaren- Aussagen unterscheiden".
Aussagen wie etwa "Nachts ist es kälter als draussen" haben in der Mathematik nichts zu suchen.

MfG
egonotto

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Wahrheitswert-Kategorien mathematischer Aussagen 13 Mär 2018 01:47 #29218

Entschuldigung, hab die Namen Rosser und Russel verwechselt. Sorry.

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Wahrheitswert-Kategorien mathematischer Aussagen 13 Mär 2018 09:03 #29223

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camillo schrieb: Ich muss also in der Mathematik zwischen richtigen, falschen, unbewiesenen (=noch unbekannter Wahrheitswert), unentscheidbaren und "ohne sinnvollen Wahrheitswert"- Aussagen unterscheiden.

Ich würde das auf nur drei Kategorien reduzieren:
\begin{align}
&\bullet\quad \text{positives Wissen} \qquad\quad\text{Wissen, dass etwas der Fall ist}\\
&\bullet\quad \text{negatives Wissen}\qquad\quad \text{Wissen, dass etwas nicht der Fall ist}\\
&\bullet\quad \text{Nichtwissen} \qquad\qquad\quad \text{nicht Wissen, ob etwas der Fall ist}
\end{align}

Ob das für die Charakterisierung des mathematischen Wahrheitsverständnisses schon ausreicht, kann ich nicht sagen. Auf jeden Fall reicht es für die Formulierung der Prädikaten- und Modallogik.

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Wahrheitswert-Kategorien mathematischer Aussagen 14 Mär 2018 02:58 #29297

Demnach muss es so sein, dass in der Prädikaten- und Modallogik Sätze, die sich selbst widersprechen, vollständig ausgeschlossen werden können. In der Mathematik geht das aber. Das Wissen über die Unentscheidbarkeit einer sinnvollen Aussage ist etwas anderes als ein Nichtwissen über positiven oder negativen Wahrheitsgehalt. Auch das Wissen über eine Undefiniertheit in Bezug auf ein Axiomensystem ist mehr als ein einfaches Nichtwissen.

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