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THEMA: Der Lagrange Formalismus

Der Lagrange Formalismus 15 Jul 2017 22:40 #17269

Hallo Zusammen,

nachdem Josef gestern sein neues Video eingestellt hat, das wahrscheinlich viele von euch angesehen haben, möchte ich im Nachgang nochmal auf den eigentlichen Schlüssel hinweisen, der wesentlich für das Verständnis ist.
Jeder kennt den Energieerhaltungsatz:
Wie dargestellt: E kin + E pot = konstant
Der Clou an der Geschichte ist jetzt, aus dem Plus Zeichen ein Minus Zeichen zu machen.
Auch wie dargestellt im Video. L = E kin - E pot
Aber was heißt das?
Nehmen wir ein Fadenpendel, das ist anschaulich:
Wenn beide Energieterme gleich sind, tut sich nix. Das Pendel ist in Ruhe, L = 0.
Schwingt das Pendel aber, so ändern sich ständig die Energieanteile. Wird E kin größer, wird E pot kleiner und umgekehrt.
D.h., gibt es zwischen den beiden Energietermen ein Delta, also einen Unterschied, dann haben wir im System Fadenpendel eine Wirkung. Und diese Wirkung führt zu einer Bewegung.
Um beim Beispiel Fadenpendel zu bleiben, es schwingt hin und her. Das gilt für ein Federpendel genauso und ganz allgemein für jede Bewegung in einem Potentialfeld, in dem ein Energiedelta nach Abbau desselben strebt.
Das Prinzip der minimalen Wirkung!
Alles versucht, immer in den Energetischen Grundzustand zu gelangen und wählt dafür den energetisch günstigsten Weg.
Der Volksmund sagt dazu: der Weg des geringsten Widerstandes.
Haben sich am Ende die Energieterme ausgeglichen, ist auch das Ende des Weges erreicht, das System kommt zum Stillstand.
Alle anderen Zustände kennen aber dieses Wirkprinzip.
Ich glaube, wenn man diesen Schlüssel verinnerlicht hat, dann ist das weitere Verständnis eine leichte Übung.
Es gibt unzählige andere Beispiele.. man braucht nur neben dem Gravitationspotential mal andere Potentiale betrachten.
Vielleicht fällt dem einen oder anderen das eine oder andere Beispiel dazu ein, das beiträgt zu einem besseren Verständnis der Grundüberlegung.
Grüße
Thomas
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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 00:34 #17276

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Ich betrachte mir diesem Vorgang und erkenne eindeutig dieses Sombrero Potential, bitte beantwortet mir nur diese frage, wie geht es weiter?
Steigt das Potential da wieder komplett auf??
Ich bin bis jetzt der festen Überzeugung das es die Form des bekannten wellen Paketes an nimmt wo unten gezeigt ist leider nur 2 Dimensional, hoffe man kann mir bei widerlegen helfen.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 10:23 #17294

Ich nehme an, es soll sich um den "mexican hat" des Higgsfelds handeln? Dann steigt der Rand immer weiter an (hoch vier).
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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 13:29 #17310

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Hat dieser ausschließlich Bezug zum Higgsfeld, dann ist diese hier fehlplatziert jedoch die Anwesenheit solches Potentialabfalls ist gewisser maßen nachgewiesen, und überall veranschaulicht. Mir erscheint es, das auch Materie sich daraus kristallisiert bei erreichen eines bestimmten Niveau.

Also bleibt dann bei Lagrange nur noch dieser Pendel wo es verdeutlicht, da alles schwingt ist es mir noch schwer diese Vorgänge unter einander zu Differenzen. Ich brauche mehr solche Videos wie Teil 7 und 9 sowie die erwähnte Elektrodynamik. Naja für mich könnte es schneller gehen. Teil 32 hätte ich am besten schon heute :D

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 13:41 #17312

Thomas schrieb: Auch wie dargestellt im Video. L = E kin - E pot
Aber was heißt das?
Nehmen wir ein Fadenpendel, das ist anschaulich:
Wenn beide Energieterme gleich sind, tut sich nix. Das Pendel ist in Ruhe, L = 0.

Nachfrage: haben E kin und E pot selbst verschiedene Vorzeichen? Die Beträge sich doch auch während der Bewegung für einen Moment gleich.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 14:10 #17314

Chris schrieb: Ich brauche mehr solche Videos wie Teil 7 und 9 sowie die erwähnte Elektrodynamik. Naja für mich könnte es schneller gehen. Teil 32 hätte ich am besten schon heute :D


dito

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 14:45 #17316

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Merilix schrieb: Nachfrage: haben E kin und E pot selbst verschiedene Vorzeichen? Die Beträge sich doch auch während der Bewegung für einen Moment gleich.

Jetzt muss du mit Helfen.
Ich kann zu keinem Zeitpunkt bei der Betrachtung der dargestellten beiden Energien, an einem Pendel das Negative Vorzeichen erkennen, bin ich Krank, was mache ich falsch? Bitte nicht schon wieder das Dilemma, Problem,... Am besten diesem Vorzeichen komplett abschaffen und Negative Anteile mit eine anderen Farbe darstellen, es gibt wohl Verwirrungsbedarf.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 15:29 #17320


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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 18:32 #17324

Michael,

Ich meinte einen Punkt zwischen oberen und unteren Totpunkt an dem die kinetische Energie betragsmäßig genau gleich der potentiellen ist. Dort gilt \(|E_{Kin}|-|E_{Pot}|=0\) ohne das das System in Ruhe wäre.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 18:50 #17326

Ja


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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 18:57 #17328

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Merilix schrieb: (...)
Nachfrage: haben E kin und E pot selbst verschiedene Vorzeichen? Die Beträge sich doch auch während der Bewegung für einen Moment gleich.


Wenn ich mir die potentielle Energie für ein Fadenpendel, also eines mit einer Punktmasse unten dran, einem masselosen Faden und ohne Berücksichtigung der Reibung, anschaue, dann ist die niemals negativ sondern schwankt zwischen 0 und mgl. Die kinetische Energie ist auch niemals negativ, denn der Term der Geschwindigkeit wird ja hier quadriert.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 19:06 #17332

Löst doch mal die Bewegungsgleichung für das Pendel. Dann wird alles klar. Die Sinusschwingung ist das ideale Versuchstier für alles: Diffenzialgleichung, Ableiten, Integrieren, Darstellung im Phasenraum usw. Wäre ich Schullehrer, würde ich mich auf diesen Stoff immer sehr freuen.
Kann man sich selbst gut aneignen. Richtiges Buch kaufen! Oder im Internet rum´googeln.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 19:45 #17337

Mir ist klar das die Aussage

"Wenn beide Energieterme gleich sind, tut sich nix. Das Pendel ist in Ruhe, L = 0."

eine falsche Aussage ist.
Die Grafik von Michael zeigt es deutlich an den Kreuzungspunkten zwischen rot und blau ist das Pendel in Bewegung und nicht in Ruhe.
Mich wundert nur das da so viele Beiträge geschrieben werden müssen die alle nicht auf den Punkt kommen.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 19:54 #17338

Merilix schrieb: Mich wundert nur das da so viele Beiträge geschrieben werden müssen die alle nicht auf den Punkt kommen.


Ich bin davon ausgegangen das die beiden Grafiken eindeutig das zeigen was du angesprochen hast.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 20:03 #17340

Tut mir leid Michael, ich habe unzulässig verallgemeinert.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 20:27 #17342

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Zwischen Deinem ersten Beitrag und Thomas' Beitrag lagen Antworten von zwei Menschen: Chris und Josef Gaßner und beide beschäftigten sich mit gänzlich einer anderen Frage.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 22:20 #17347

Ehrlich gesagt verstehe ich die Diskussion nicht... Wann ist etwas "in Ruhe"? Wenn seine Geschwindigkeit v null ist. Wie groß ist dann die kinetische Energie 1/2 m v^2 ? Auch null! Es geht auch im Lagrangeformalismus nicht darum, herauszufinden wo etwas in Ruhe ist, sondern darum, welche Funktion bei gegebenen Randbedingungen (z.B. Bewegung von HIER nach DA innerhalb von t=Zeitraum) integriert über die Zeit minimal ist.

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Der Lagrange Formalismus 16 Jul 2017 22:40 #17349

Ich habe im Zusammenhang mit der ART bereits mehrfach gelesen und gesehen das sich Objekte so auf Geodäten durch die Raumzeit bewegen das die Eigenzeit maximal wird. Ist es richtig das dem dasselbe Prinzip wie beim Lagrangeformalismus zugrunde liegt?

Ich habe das so verstanden das in einer gekrümmten Raumzeit jede Beschleunigung (also eine Krafteinwirkung von außen) dazu führt das aufgrund speziell relativistischr Effekte weniger Eigenzeit vergeht. Das scheint mir ein ganz analoges, wenn nicht sogar das selbe Prinzip wie bei dem Formalismus zu sein.

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Letzte Änderung: von Merilix. Begründung: Eigenzeit (Notfallmeldung) an den Administrator

Der Lagrange Formalismus 17 Jul 2017 09:18 #17364

Hmm, hab ich doch im Video erklärt - dafür hatte ich meine Armbanduhr um die Orange gelegt...
In der klassischen Mechanik ergibt sich für die Lagrangefunktion entlang des Weges der Kompromiss aus möglichst niedriger Geschwindigkeit (-> kleine kinetische Energie) bei möglichst großer Höhe (-> große potentielle Energie).
Übersetzt in die Relativitätstheorie ergibt die niedrige Geschwindigkeit eine möglichst geringe Zeitdilatation gemäß SRT und eine möglichst große Höhe eine niedrige Zeitdilatation gemäß ART. ERGO: die Eigenzeit des Probekörpers wird MAXIMIERT.
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Der Lagrange Formalismus 27 Jul 2017 00:43 #17882

Hallo zusammen
war auf Radeltour, von Südbayern nach Venedig. Deshalb konnte ich das Thema nicht weiter vertiefen.
Jetzt aber soll das Thema reaktiviert werden, denn es wäre schade, wenn der Videobeitrag von Josef so schnell untergehen würde. Wir brauchen das Verständniss noch für die folgenden Beiträge.
Beim Einführungspost hab ich natürlich vergessen, dass L , also die Lagrangefunktion über die Geschwindigkeit integriert werden muss, denn sonst tut sich ja nichts. Der Stein im Gebirge bleibt solange liegen, bis ein Gewittersturm ihn ins Rollen bringt. Erst wenn er rollt, bekommt E kin - E pot einen Wirkungscharakter.
Schaut euch das Video nochmal an. Nach dem Integral folgt der Formalismus, der dann auch das Zeitdifferential mit beinhaltet.
Die Mächtigkeit dieses Gebäudes ist so irre, dass wir das unbedingt vertiefen sollten.
Die Freude an den folgenden Beiträgen ist umso größer.
Grüße
Thomas

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Der Lagrange Formalismus 27 Jul 2017 01:06 #17884

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Wie bitte?
Der Formalismus steht doch klar da und er spuckt eine Differentialgleichung aus, die man dann halt mit den Mitteln der Mathematik lösen kann oder auch nicht.

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Der Lagrange Formalismus 27 Jul 2017 02:09 #17886

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Willkommen zurück Thomas, hoffe es war nicht so verregnet wie hier im Forum, bei manchen spuckt es bei anderen scheitert es am einfachen lesen,..... ich reg mich nur unnötig auf. Aber das sind andere Themen von diesen ich mich fern halten werde, besser ist es ausschließlich sachliche Themen zu verfolgen.

Bei betrachten des Impulses/Geschwindigkeit bin ich auf die Hamiltonsche Mechanik gestoßen die wiederum weitere Ansprüche stellt, bei einem Pendel ist es ja simpel da dieser eindeutigen Zwangsbedingungen unterliegt, jedoch bei einem fallenden Objekt ist wohl Hamilton-Funktion das nächste übel.

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Der Lagrange Formalismus 27 Jul 2017 23:42 #17950

Hallo Chris,
lese mich gerade etwas ein in die letzten Tage. Scheinst recht zu haben. Es wird sehr viel geplaudert, statt ernsthaft zu diskutieren.
Wir haben nur Sonstige Themen oder weiterführende Themen und fast keine wissenschaftlich orientierte Themen.
Dieser Thread sollte eigentlich dazu beitragen, wieder stringent in die Vorlesung von Aristoteles zur Stringtheorie einzutreten.
Leider muss ich feststellen, dass das keiner sieht, geschweige denn kapiert.
Wir hätten die Chance, hier im Forum Schritt für Schritt den Gedankengang, die diese Vorlesung beschreitet, durch Gedankenaustausch zu untermauern.
Warum versteht das keiner?
Es wurde soviel Energie aufgewendet, um dem Negativen Druck auf die Spur zu kommen. Und hier, wo wir eine Chance hätten, auf den Spuren gesicherten Wissens zu wandeln, ist das Interesse eher eingeschränkt.
Also bitte, denkt mal darüber nach, ob es sich nicht doch lohnen würde, diesen Gedanken intensiver zu folgen, als das bisher der Fall war.
Grüße
Thomas

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Der Lagrange Formalismus 27 Jul 2017 23:52 #17951

Hi.
Bevor das hier alles untergeht.
Ich bin Amateur.
Ich lese und höre gerne die Beiträge.
Doch leider fehlt es mir noch etwas an gefestigten Wissen um hier aktiv mitwirken zu können.

Och glaube so geht es auch einigen anderen.
Die Fachmänner Wissen Bescheid und erwarten Fragen.
Die Laien Wissen nicht recht was sie Fragen sollen oder können.

LG
SvChGl

Verzeiht mir bitte die Autokorrektur des Handys.

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Der Lagrange Formalismus 28 Jul 2017 01:17 #17952

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Untergehen ist in ca. 1½ Milliarden Jahren geplant, wenn alles so ist wie ich es plane. :D

Thomas wir brennen alle bereits drauf das nächste Video zu schauen, (was mich angeht, hoffentlich mit mehr Schleuder Schild).
Was Lagrange-Formalismus nun beträft ist so eine Sache wie du merkst für manche erklärt sich Mathematik mit einfachem "es ist so" ich finde es schade das nur wenige es erkennen welches Potential in dieser Erkenntnis drin steckt, die anderen müssen sich mehr trauen, ich sage es immer wieder Mathematik muss man nicht Lernen, es reicht diese zu verstehen, für mich ist Mathematik eine bunte topografische Umgebung. Ich kann es gut verstehen das nicht jeder damit umgehen kann, jedoch es ist so einfach.

SvChGl: Amateur,... und ich erst... also willkommen in Club. Viele Leien stellen konkrete fragen und da ist es mir egal wie durcheinander diese gestellt sind, es ist vollkommen ok, ich kenne auch nicht alles, und das ist wohl gut so. Missverstehen tue ich auch so einiges. Dann gibt es wieder andere die kommen gleich mit aussagen, wo ich oft explodiere. Also es ist nicht Leich für beide Seiten, ich habe schon gern das ein gewisses grad an Verständnis für die Natur gebracht wird und wenn nicht dann hilft man hier so gut es geht, ich verlange es immer wieder das man mich verbessert wenn ich falsche aussagen mache. Gefestigte wissen?... ist so eine Sache,. stumpfes auswendig Lernen bringt nicht viel. Bei vielen Textaufgaben kann man das feststellen, bei umstellen der Aufgabe kommen viele nicht weiter obwohl Ergebnis selbe ist, hier ist mehr so das jonglieren gefragt, jedoch machst du deine Sache hier recht gut, daher ich traue dir schon die Antwort zu, wie empfindest du Lagrange wenn dir deine Umgebung so betrachtest?... komme mir aber nicht mit L=T-V oder \(\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial q_i} = 0\,. \) das dann zu einfach.

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Der Lagrange Formalismus 28 Jul 2017 06:57 #17953

Vorhin im Thread hatten wir das Pendel. Wir könnten ja für das Pendel eine geeignete Lagrangefunktion aufstellen und hieraus die Bewegungsgleichung ableiten. Mit ein oder zwei Bespielen wird der Formalismus vielleicht weniger abstrakt. Wer möchte anfangen?

Nicht extra gekennzeichnete Beiträge sind normale private Beiträge. Sie sollten genauso diskutiert und kritisiert werden wie alle anderen Beiträge auch.

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Der Lagrange Formalismus 28 Jul 2017 09:45 #17957

Ich hab mir das Video von Herr Gaßner nochmal angeschaut.
Ist das ein klein a am Schluß?

Verzeiht mir bitte die Autokorrektur des Handys.

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Der Lagrange Formalismus 28 Jul 2017 10:03 #17958

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Ok, also ich betrachte mir das Pendel als ein Objekt das hoffentlich nicht ruht,.... es steht nicht oder?.... also bedeutet es, ins Koordinaten System übertragen, so eine Bewegungsgleichung, da brauche ich ein paar Daten, die so gesehen recht logisch sind, Die länge (höhe) brauche ich, einmal im Zentrum und das zweite mal bei maximalen Ausschlag, Winkel φ (Phi) beim Ausschlag des Pendels, egal ob gesamten oder von der Mitte aus. Das ist bis auf die Masse alles! Rest möchte ich rechnen, da diese simple Formel es erlaubt.
Beim Lagrange Formalismus gilt es verallgemeinerte (generalisierte) Koordinaten zu verwenden. (kann man das so verstehen?) also 2 Dimensional veranschaulicht es besser. Die schwingende Masse wird durch die Aufhängung an einem Faden eingeschränkt und unterliegt somit einem Zwang; der Faden verhindert den freien Fall des schwingenden Objektes. \( {\displaystyle x_{j}=\displaystyle x_{j}(\mathbf {q} _{1},\ldots ,\mathbf {q} _{N},t)} \)

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Der Lagrange Formalismus 28 Jul 2017 10:23 #17959

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SvChGl schrieb: Ich hab mir das Video von Herr Gaßner nochmal angeschaut.
Ist das ein klein a am Schluß?

wo? in der Formel? Ich habe die Formel zuvor schon geschrieben, schaue mal weiter oben da steht sie: Beitrag #17952
Also es war in der tat gelogen als ich sagte Mathematik muss man nicht Lernen, das was man bei Mathematik lernen muss ist wohl das Griechische Alphabet. Ansonsten genau zu hören was Prof. sagt bei schreiben der Formel. Es ist ein kleines Delta.

......am schluß... stimmt: komplett-media wird mit a am Schluß geschrieben. :D Also bei nächsten mal bitte sei so lieb, beschreibe es bitte etwas deutlicher dann kann man dir genauer helfen.

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Der Lagrange Formalismus 28 Jul 2017 17:22 #17978

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ClausS schrieb: Vorhin im Thread hatten wir das Pendel. Wir könnten ja für das Pendel eine geeignete Lagrangefunktion aufstellen und hieraus die Bewegungsgleichung ableiten. Mit ein oder zwei Bespielen wird der Formalismus vielleicht weniger abstrakt. Wer möchte anfangen?


Für das Fadenpendel? Gerne - Es wird halt katastrophal das ohne Formeleditor hinzutippen :D

Es ist ja ein ebenes Problem; ergo setze ich mal von den drei räumlichen Koordinaten x,y,z eine auf 0; in dem Falle z=0
Jetzt lässt sich die ganze Geschichte in Polarkoordinaten deutlich einfacher rechnen, weil wir dann nur noch einen Freiheitsgrad haben, nämlich den Auslenkungswinkel alpha, da der Radius r in dem Falle auch konstant ist, denn es handelt sich ja um die Fadenlänge l.
Es geht also nun darum, den Ortsvektor des schwingenden Massenpunktes in Abhängigkeit von alpha darzustellen.
Bei alpha = 0 ist im Koordinatensystem, das ich wählte (siehe Bild), die Auslenkung in x-Richtung gleich null, die Auslenkung in y-Richtung ist -l
Bei alpha = 90° ist die Auslenkung in x-Richtung gleich l, die Auslenkung in y-Richtung ist null
--> Das lässt sich mit Sinus und Cosinus darstellen, also lautet der Vektor, der die Bewegung des Massenpunktes beschreibt folgendermaßen:
x=l*sin alpha
y=-l*cos alpha

Die potentielle Energie hängt nur von der Auslenkung in Richtung y ab, also folgt: Epot=m*g*y; setzt man nun die Beziehung zwischen y und alpha ein, folgt:
Epot=-m*g*l*cos alpha

Für die kinetische Energie braucht man die Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes, die vereinfacht sich in diesem Falle, weil es sich um ein ebenes Problem handelt bei dem sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn bewegt, also der Vektor der Tangentialgeschwindigkeit immer senkrecht zum Ortsvektor des Massenpunktes steht, auf: v=alpha PUNKT*l Mit PUNKT meine ich hier die Ableitung des Drehwinkels alpha nach der Zeit (t), also die Änderung des Drehwinkels mit der Zeit.
Damit lautet Ekin=1/2*m*(alpha PUNKT*l)^2
Die Geschwindigkeit könnte man sich ausserdem auch ganz "stumpf" aus der Tatsache herleiten, dass man die kinetische Energie, die sich aus dem Betrag der Geschwindkeit in x-Richtung ergibt zur kinetischen Energie, die sich aus dem Betrag der Geschwindigkeit in y-Richtung ergibt, dazu addiert und fertig. Das wäre wahrscheinlich rein formal der einleuchtendere Weg; also die beiden Komponenten des Ortsvektors oben nehmen und nach der Zeit ableiten. Das ist dann der Vektor der Bahngeschwindigkeit des Massenpunktes. Nun die x-Komponente quadrieren, dann die y-Komponente quadrieren, dann beide addieren und das Ergebnis der Addition mit 1/2*m multiplizieren. Das ergibt genau das gleiche Ergebnis - einfach beachten, dass sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 ist.

Die Langrange Funktion (L = Ekin - Epot) lautet also für das Fadenpendel nun: L = 1/2*m*(alpha PUNKT*l)^2 + m*g*l*cos alpha

Das gilt's nun gemäß Euler-Langrange-Gleichung abzuleiten - aber das krieg ich jetzt hier wegen meines nicht-vorhandenen Formeleditors nicht mehr hin.

--> Ich gebe den Staffelstab weiter :)
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