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THEMA: Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit

Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 14 Okt 2017 12:57 #20491

  • Chalawan2000
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Mathematik-Sensation: Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit
Zwei Mathematiker haben bewiesen, dass zwei Unendlichkeiten gleich groß sind. Sie haben damit ein großes Rätsel der Mathematik gelöst.
Sind zwei verschiedene Varianten von Unendlichkeit gleich groß? Jahrzehntelang war die gängige Meinung unter Zahlenforschern, dass dies nicht der Fall ist. Doch nun hat ein Mathematikerduo genau das bewiesen. Was verblüffend klingt, berührt eines der bekanntesten und hartnäckigsten Probleme der Mathematik: die Frage, ob es Unendlichkeiten gibt, die zwischen der unvorstellbar großen Gesamtheit der natürlichen Zahlen und der noch größeren Unendlichkeit der reellen Zahlen liegen.

Nun auf einmal doch. Verstehe ich nicht.

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Betreff des ThemasRelevanzDatum des letzten Beitrages
Unendlichkeit des Universums?13.9Freitag, 06 Mai 2016

Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 14 Okt 2017 14:46 #20499

War das eins der noch übrigen Mathe-Rätsel, für deren Lösung man eine Million Dollar kassieren kann? Dann hätte sichs ja gelohnt.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 14 Okt 2017 15:02 #20501

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 14 Okt 2017 17:16 #20503

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Hallo Mic, ich finde die Vorstellung von verschieden großen Unendlichkeiten kontraintuitiv, ja absurd, kannst du vielleicht nur ganz grob, mit einfachen Worten erklären, wie das gemeint ist, Unendlichkeit, die dann ja wohl endlich sein muss???
Danke
Chalawan

("Kohle" gibt es leider nicht aber Imageauffrischung...ha)

ODER NEIN DANKE...
...ich verstehe bereits nicht, weshalb natürliche Zahlen eine kleinere Unendlichkeit besitzen sollen als reelle Zahlen (rationale und irrationale)... ich denke, wenn du endlos Nullen dranhängen kannst, ist die Sache klar. Und sag mir nicht, die reelle-Zahlen-Unendlichkeit ist NUR deshalb größer, weil sie aus 2 Komponenten besteht…

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 14 Okt 2017 20:25 #20509

Vergiss das alles. Wir machen hier Physik. Das sind mathematische Spinnereien.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 14 Okt 2017 21:01 #20513

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Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 15 Okt 2017 07:20 #20534

Der Beweis, dass reele Zahlen überabzählbar unendlich sind:
Wenn reele Zahlen abzählbar sind, dann gibt es eine Bijektion (Zuordnung) zwischen Natürlichen und reellen Zahlen, d. h. wir haben es geschafft, dass alle reellen Zahlen sich in eine Linie aufstellen. Es gibt also reelle Zahl Nr, 1, Nr. 2 usw.
Und jetzt bilden wir die reelle Zahl x.
Diese Zahl hat eine Null vor dem Komma. Für die Nachkomma-Stellen gilt folgende Regel:
(erstmal konkret-anschaulich)
Wir nehmen die reelle Zahl Nr. 1 und gucken, ob die in der ersten Nachkommastelle eine 7 hat. Wenn ja, bekommt x an der Stelle eine 8, wenn nicht, eine 7.
Und bei der reelle Zahl Nr. 1 machen wir das gleiche, nur mit der 2. Nachkomma-Stelle.
Allgemeine Regel:
Wir nehmen die reelle Zahl Nr. n und gucken, ob die in der n-ten Nachkommastelle eine 7 hat. Wenn ja, bekommt x an der Stelle eine 8, wenn nicht, eine 7.

Dann gehen wir die Reihe durch (dauert unendlich lange, aber egal) – fertig ist die reelle Zahl x.
Die ist aber mit keiner reellen Zahl, die da in der Reihe standen, identisch. Also hat sie beim Appell gefehlt, was heißt: es gibt doch mehr reelle Zahlen, als in eine Reihe gehen.

q.e.d.

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Wer meint, er habe etwas erkannt, der weiß noch nicht, wie man erkennen soll.
1. Brief des Paulus an die Korinther 8, 2
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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 02:32 #20570

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Hej Martin!

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 15:08 #20586

es gibt doch mehr reelle Zahlen, als in eine Reihe gehen.


Haben die nicht grade bewiesen, dass es weder "mehr" noch "weniger" gibt, sondern dass alle "Unendlichkeiten" gleich groß sind?

S = k log W

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S = k log W

Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 15:19 #20589

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@Madouc99

"Scheinbar" widerlegt, möchte ich vorsichtig sagen - sehr lange galt ein anderes Paradigma, welches sicher wieder - irgendwann - zur Wahrheit erhoben wird. After all, in der präzisen Wissenschaft Mathematik gilt eben auch manchmal: es gibt „meine“ und es gibt „deine“ WAHRHEIT. Und manchmal noch DIE WAHRHEIT!

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 15:35 #20590

"Scheinbar" widerlegt, möchte ich vorsichtig sagen


Nene, sie haben bewiesen das zwei unendliche Mengen gleich groß sind. Das ist sehr mächtig und nicht interpretierbar.

Also die bisherige Denkweise, dass "Alle geraden Zahlen" ein klein wenig weniger undendlich ist als "Alle Primzahlen" oder eben wie Martin-O es andeutet, dass es mehr "Reele Zahlen" als "Natürliche Zahlen" gibt wurde widerlegt, und es wurde darüber hinaus bewiesen, dass diese Mengen alle gleich groß sein müssen.

Für mich beweist das wiedermal, dass nur weil etwas nicht vorstellbar ist, das nicht zwingend heißen muss, dass es nicht sein kann.

S = k log W

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S = k log W

Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 16:01 #20592

Unendlich ist schon viel, aber mit den Unendlichkeiten kann leicht Unordnung im Karton kommen. Also bitte mal sortieren:

1. Es gibt abzählbar unendlich. Das ist immer gleich viel: Natürliche und ganze Zahlen, Gerade zahlen, Primzahlen, Quadratzahlen: Davon gibt es immer genau abzählbar unendlich.
2. Es gibt den Unterschied zwischen abzählbar und überabzählbar unendlich. Abzählbar: Natürliche Zahlen, überabzählbar: reele Zahlen.
3. Es gibt verschiedene überabzählbare Unendlichkeiten.
4. Es gibt unendlich viele unterschiedliche Unendlichkeiten. Das hat lange dazu verleitete zu meinen, dass jedes überabzählbar unendlich eine eigene Kiste ist.
5. Und jetzt die Sensation: Es gibt Unendlichkeiten, die beide mehr als abzählbar sind, und beide gleich groß sind! (Es sind NICHT alle gleich groß, sondern nur einige! Das ist irre! Und eher erkläre ich die Quantengravitation als das.
Bitte diese Dinge nicht durcheinander werfen. Sie widersprechen sich nicht, sie sind nur eine irrer als das andere.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 16:10 #20593

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Das die Primzahlen Unendlichkeit kleiner ist als die der natürlichen Zahlen ist zwar - irgendwo - einleuchtend, scheint sogar logisch zu sein, aber bitt' schön, was würde Karl Valentin dazu sagen...
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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 16:23 #20596

Martin-O schrieb: Es sind NICHT alle gleich groß, sondern nur einige! Das ist irre! Und eher erkläre ich die Quantengravitation als das.

Originaltext schrieb: Two mathematicians have proved that two different infinities are equal in size


Quelle: www.quantamagazine.org/mathematicians-me...eyre-equal-20170912/

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 16:38 #20599

Chalawan2000 schrieb: Das die Primzahlen Unendlichkeit kleiner ist als die der natürlichen Zahlen ist zwar - irgendwo - einleuchtend, scheint sogar logisch zu sein,

@ Chalawan2000: Nein, sie sind gleich! Das liegt daran, dass man von abzählbar unendlich beliebig viel mit einer natürlichen Zahl multiplizieren kann oder dividieren, es bleibt sich gleich.
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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 17:01 #20603

Ist ja klar, natürliche Zahlen sind abzählbar, Primzahlen sind abzählbar und rationale Zahlen (als Bruch je zweier natürlicher Zahlen) sind es ebenfalls. Man kann jedem Element dieser Mengen statt einer Zahl irgend ein x-beliebiges Symbol zuordnen. Deshalb müssen sie in ihrer Unendlichkeit gleich mächtig sein.

Etwas anders sehe ich das mit reellen Zahlen. Dazu gehören auch die irrationalen und die sind meiner Meinung nach nicht mehr abzählbar und deshalb können die auch nicht Gegenstand der Mengenlehre sein.

Es dabei tut sich auch die Frage nach dem praktischen Sinn des Ganzen auf. Darf man denn mit solchen Unendlichkeiten rechnen? Darf man durch ein reelles Unendlich dividieren oder multiplizieren? Darf man kürzen oder mit Unendlich erweitern? Und nicht zuletzt: Darf man dem irgend eine physikalische Bedeutung zuordnen? Physiker mögen kein Unendlich -- und das aus gutem Grund ;)

PS:
@Martin-O
Zu deinem Beweis der überabzählbarkeit reeller Zahlen: Kann es sein das sich das Ergebnis der Abzählung beim Wechsel in eine andere Zahlenbasis ändert? (bin mir da nicht 100%ig sicher). Es geht ja nicht darum Ziffern zu zählen sondern Zahlen. Bei rationalen Zahlen gibt es da keine Probleme, jede Zahl steht für sich selbst unabhängig von der Darstellung.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 17:11 #20605

Merilix schrieb: Es dabei tut sich auch die Frage nach dem praktischen Sinn des Ganzen auf. Darf man denn mit solchen Unendlichkeiten rechnen? Darf man durch ein reelles Unendlich dividieren oder multiplizieren? Darf man kürzen oder mit Unendlich erweitern? Und nicht zuletzt: Darf man dem irgend eine physikalische Bedeutung zuordnen? Physiker mögen kein Unendlich -- und das aus gutem Grund ;)

Die vielen verschiedenen Unendlichkeiten zeigen ja, dass man damit doch etwas anfangen kann, und sei es nur für die >Mengenlehre. Aber wer weiß, was das noch für eine Anwendung findet.
Und natürlich mögen Physiker unendlich: Ohne das gäbe es keine Ableitung und kein Integral. Bitte stell Dir Physik ohne das vor! Dann Prost Mahlzeit!

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 17:22 #20606

Martin, mein Nachtrag oben hat sich mit deiner Antwort überschnitten. sorry ;)

Unendlich und Physik
Nein, Integrale und Ableitung ist Mathematik und keine Physik. Energie auf unendlich kleinem Raum bedeutet unendlich große Energiedichte -- Planck und Heisenberg haben die Physik gerettet indem sie diese Unendlichkeit vernebelt und damit quasi abgeschafft haben :)

assume good faith

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 18:27 #20615

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Sage ich auch, Merilix, Unendlichkeit ist gelinde gesagt unbeliebt, schon wegen der Unschärferelation.
Könnten die M-Theoretiker verschiedene Unendlichkeiten "gebrauchen", wo "enden" die überhaupt, haha.
Ich bin nicht ernst - die Neutronenstern Merge rafft mich "dahin"...

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 18:38 #20620

@ Merilix
Nein, Ziffern werden nicht gezählt, sie spielen nur eine Bedeutung beim Nachweis, dass es eine Zahl gibt, die nicht in der Reihe steht.
Du hast Recht, die Physik selber hat unendlich nicht. Ich will hier mitten unter Phsyik-philen nicht eine Lanze für Mathe brechen, aber ohne Mathe läuft nichts. Man rümpft die Nase, aber benutzt es doch, Man tut in der Praxis eben so, als ob es doch unendlich gäbe, Selbst Newton braucht den unendlich kleinen Schwerpunkt (Im Makro-Bereich dürfen Physiker das wohl).
Nur die Frage, wozu man das braucht finde ich ähnlich überheblich wie die, wozu man Gravitationswellenmessung braucht. Mathe findet oft unerwartete Anwendung und die Physiker benutzen es, ohne Danke zu sagen.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 19:25 #20630

Martin, es ging mir bei der Frage "wofür braucht man das" nicht um die Mathematik ansich sondern um die unterschiedlichen oder nicht unterschiedlichen Mächtigkeiten von Unendlich im Speziellen. Ist die Frage überheblich?

Überabzählbarkeit:
Sorry, mir war der Begriff nicht richtig vertraut. Was ich meinte war was auch Wikipedia zu überabzählbare Menge schreibt:

Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Dabei heißt eine Menge abzählbar, wenn sie entweder endlich ist oder eine Bijektion zur Menge der natürlichen Zahlen existiert. Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (entspricht der Anzahl der Elemente bei endlichen Mengen) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.


Für mein Empfinden lässt sich von irrationalen Zahlen keine Menge bilden.
Der "Beweis" das alle unendlichen Mengen gleich mächtig sind bestätigt dies.
Denn es wäre sonst ein Widerspruch zur Definition laut Wikipedia "Eine Menge ist genau dann überabzählbar..." ;)

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 16 Okt 2017 22:20 #20639

Sorry, die Frage wozu braucht man das kann neugierig oder abfällig gemeint sein, da habe ich falsch interpretiert. Ich war gerade in einem Forum, wo Leute deutlich abfällig fragten, wozu man das Messen von GW braucht, da habe ich dann auf Deine Frage übertragen.

Es ging ja um die Anzahl bestimmter Sorten von Teilmengen, innerhalb der Mathematik ist das schon eine wichtige Sache, zur praktischen Anwendbarkeit kann ich nichts sagen.
Nochmal: Es wurde nur bewiesen, dass bestimmte 2 Unendlichkeiten gleich groß sind, es gibt aber unendlich viele Unendlichkeiten, die jeweils verschieden groß sind.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 17 Okt 2017 20:03 #20719

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Die Primzahlen Unendlichkeit ist kleiner als die der natürlichen Zahlen - irgendwo - einleuchtend!

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 17 Okt 2017 21:13 #20727

Wie erschafft man mathematisch mit endlichen zahlen ein unendliches Ergebnis , also der mathematische Beweis das es Unendlichkeit überhaupt gibt .
Ansonsten könnte man gleich fragen welcher Gott ist größer oder sind alle Götter gleich groß ( Anspielung auf anderen Beitrag )

Wir leben zwar alle unter dem gleichen Himmel, aber es haben nicht alle den gleichen Horizont.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 17 Okt 2017 23:42 #20737

@ Heinzendres:
Mathematik ist reine Philosophie, die Dinge, mit denen sie sich beschäftigt, gibt es alle nicht.
Der Beweis der Unendlichkeit ist einfach: Man geht vom Gegenteil aus und beweist, dass sich ein Widerspruch ergibt.
Beispiel:
Behauptung: Es gibt endlich viele natürliche Zahlen.
Daraus folgt, dass es eine größte natürliche Zahl gibt, die nennt man n.
Dann bildet man die Zahl m mit der Rechnung n+1=m.
Dann stellt sich heraus, dass m größer ist als n. Damit ist n nicht mehr die größte natürlcihe Zahl.
Also gibt es unendlich viele.

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 20 Okt 2017 20:08 #20931

Martin-O schrieb: @ Heinzendres:
Der Beweis der Unendlichkeit ist einfach: Man geht vom Gegenteil aus und beweist, dass sich ein Widerspruch ergibt.
Beispiel:
Behauptung: Es gibt endlich viele natürliche Zahlen.
Daraus folgt, dass es eine größte natürliche Zahl gibt, die nennt man n.
Dann bildet man die Zahl m mit der Rechnung n+1=m.
Dann stellt sich heraus, dass m größer ist als n. Damit ist n nicht mehr die größte natürlcihe Zahl.
Also gibt es unendlich viele.

Zeigt das nicht das es keine unendlichen , sondern nur unbegrenzte viele zahlen gibt

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 22 Okt 2017 07:52 #20993

Hallo,

der Artikel
" www.spektrum.de/news/von-unendlichkeit-z...ly&utm_content=heute "
ist schon ziemlich fehlerhaft.

Besonders weh tut: "Malliaris hat sich für diese Frage mit Saharon Shelah zusammengetan, die an der Hebräischen Universität in Jerusalem und an der Rutgers University forscht".

Saharon Shelah ist einer der besten Mathematiker. Jeder der einen Artikel über ein Ergebnis aus der Mengenlehre schreibt, sollte von ihm gehört haben und wissen, dass er keine Frau ist.
Oder was würde man vom Autor eines physikalischen Artikel halten, der schreiben würde Frau Albert Einstein ... .

Im Artikel steht:
"Was verblüffend klingt, berührt eines der bekanntesten und hartnäckigsten Probleme der Mathematik: die Frage, ob es Unendlichkeiten gibt, die zwischen der unvorstellbar großen Gesamtheit der natürlichen Zahlen und der noch größeren Unendlichkeit der reellen Zahlen liegen."
Das ist falsch. Diese Frage ist längst von Gödel und Cohen geklärt worden.

Der besagte Satz von Maryanthe Malliaris und Saharon Shelah ist schon sehr speziell und bestimmt keine Mathematiksensation.

Eine Kritik des Artikels findet man in " plus.google.com/+johncbaez999/posts/KXnZmQZmNTy "

MfG
egonotto

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 22 Okt 2017 21:13 #21028

Danke egonotto für den Link zur Kritik.
Was lehrt uns das? Nicht nur in der Mathematik gilt "details do matter" sondern auch beim lesen populärwissenschaftlicher Artikel.

"schöner Zwiebelbeitrag" (nice onion article)...
LOL :D sagt man das wirklich so?

assume good faith

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assume good faith

Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 23 Okt 2017 17:04 #21066

  • Chalawan2000
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@egonotto, merilix und wer alles im thread mit-rätselt

Mehr noch sollten wir uns klar machen, dass der Originalartikel vom Mathematikmagazin No. 1 auf der Welt veröffentlicht wurde: www.quantamagazine.org/mathematicians-me...eyre-equal-20170912/ - In dem NUR die Nachnamen der Mathematiker genannt wurden. Ich entschuldige mich nicht dafür, dass ich den spektrum.de Artikel weder redigiert noch lektoriert habe und auch keine eigene Übersetzung vornahm.
DAS HEISST:
spektrum.de hat ABGESCHRIEBEN, die Vornamen der Mathematiker „recherchiert“ und FALSCH GESCHLUSSFOLGERT!
Wenn man plus.google.com.joan.baez usw. zitiert, DANN BITTE KOMPLETT:
joan.baez schrieb: Auszug: „Wenn Sie sich schlecht fühlen, weil Sie das nicht verstehen, tun Sie dies nicht. Ich bin Mathematiker und verstehe es auch nicht.“
Okay, Joan Baez ist also Mathematiker und nicht Musikerin! Kleiner Scherz am Rande. HAHA – Kann ja jeder kommen! Baez beweist gar nichts!
(WER ist Baez?)


AFTER ALL!
Ich wollte diskutieren und schrieb zu Beginn des Threads „Ich verstünde nicht…“ und an Madouc99 gerichtet:

"Scheinbar" widerlegt, möchte ich vorsichtig sagen
- sehr lange galt ein anderes Paradigma, welches sicher wieder - irgendwann - zur Wahrheit erhoben wird. In der präzisen Wissenschaft Mathematik gilt eben auch manchmal: es gibt „meine“ und es gibt „deine“ WAHRHEIT. Und manchmal noch DIE WAHRHEIT!“

Woraufhin, JA, ich sofort verbessert wurde: „Nene, sie haben bewiesen… usw.“

Und was schrieben Michael D und ich zu Beginn der Diskussion?
-

Chalawan schrieb:
"Hallo Mic, ich finde die Vorstellung von verschieden großen Unendlichkeiten kontraintuitiv, ja absurd… ".
-
Mic schrieb:
"Vergiss das alles. Wir machen hier Physik. Das sind mathematische Spinnereien."

Hihi, wird Martin-O anders sehen, aber bitte, Martin, lass in DIESEM FALL die „Spinnerei“ ZU. Danke!
-
PS:
Wenn die berühmtesten Zeitschriften der Wissenschaft wie „science.com“, „nature.com“, „quantamagazine.org“ Artikel veröffentlichen, die sich nach einer Zeit als FALSCH herausstellen wie der Mega GAU „BICEPII“ – Gravitationswellendetektion – was sich als STAUB herausstellte“, auf Science 2014, der Artikel wurde von 8 Experten "auf Herz und Nieren" geprüft, ändert das nichts aber auch gar nichts daran, dass wir von den weltbesten Magazinen sprechen.
(Was denkt ihr, wie viele Fehler auf arXiv auftauchen und WER WIE die Artikel kontrolliert, bevor sie online gestellt werden im Vergleich zu „Science“, obwohl das Thema komplexer ist.)
PPS: Vielleicht kann man zur Abwechslung mal andere Threads – auf Fehler – untersuchen. Ich bin nicht der Einzige, der einmal ein Komma vergisst und dann verbessert wird und das betrifft nicht nur mich! UND, egonotto, warum tauchtest du nicht IN DER DISKUSSION mit ein, WARUM verbesserte mich (fast) jeder - mit Blick auf den genannten Artikel, den ich hinterfragte? (rhetorisch gefragt, alzu transparent erscheint mir die Motivation)
Chalawan


You only live once (Yolo), Laugh out loud (lol) und keine Ahnung (ka) gehören zum festen Jargon der Jugendsprache. www.srf.ch/sendungen/einstein/einstein/y...mit-sms-abkuerzungen

wzllab

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Von Unendlichkeit zu Unendlichkeit 23 Okt 2017 20:55 #21091

Hallo,

ja Fehler macht wahrscheinlich jeder. Ich leider ziemlich viele.

(Es gibt aber Leute die die Fehler nicht einsehen wollen. Sowas gefällt mir gar nicht.
Das hat aber mit der jetzigen Diskussion nichts zu tun.)

Nun Unendlichkeit ist ein schwieriger und recht vager Begriff.

Meiner Meinung nach macht es nicht viel Sinn sich mit vagen Begriffen herumzuschlagen.

Viele Mathematiker haben das schon lange vor mir so gesehen und formale und saubere Methoden eingeführt.

Das ist am Anfang sicher beschwerlicher, zahlt sich dann aber wirklich gut aus.
Ein Nutzen ist, daß man nicht mehr rätseln muss "was meint denn der Autor nur?".
Das ist vor allem sehr nützlich wenn man sich einarbeiten will.
Ein ander Nutzen ist, dass man nun viel feinere Fragen stellen und vielleicht auch beantworten kann.

Als Beispiel kann man die Mengenlehre heranziehen.
Da ist der naive Ansatz gescheitert. Darum wurde hier ein axiomatischer Ansatz gewählt.
Mathematik ist kein bezugsloses Glasperlenspiel, sondern man versucht Erfahrungen präziser zu fassen.

Durchgesetzt hat sich ein bestimmtes Axiomensystem (ZFC)
Dieses Axiomensystem (ZFC) legt fest was eine Menge ist.
Z.B. sagt ein Axiom wenn x und y Mengen sind, dann gibt es auch eine Menge die genau x und y als Element enthält.

Man kann das als Spiel mit Spielregeln sehen. Nur was die Spielregeln erlauben, darf man machen.

Im Fall der Mengenlehre hat sich das als sehr erfolgreich herausgestellt.

Ein nützlicher und wichtiger Begriff ist der Begriff der Anzahl.
Der naive Begriff "Anzahl" wurde innerhalb der Mengenlehre definiert.
Die Menge x hat die gleiche Anzahl von Elementen wie die Menge y wenn es eine bijektive Abbildung f von x nach y gibt. Man sagt dann x und y haben die gleiche Mächtigkeit (in englisch cardinality) und schreibt |x| = |y|

Und wie es so üblich ist wird über die Konsequenzen nachgedacht.
Eine einfache Erkenntnis war, dass man Mächtigkeiten vergleichen kann.
Es gilt für jede Menge x, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge von x echt größer als die Mächtigkeit von x ist. Man schreibt |Potenzmenge(x)| > |x|

Da man in der Mengenlehre auch über die Menge aller natürlichen Zahlen reden will, braucht man auch "unendliche" Mengen. Darum gibt es ein Axiom, dass die Existenz von "unendlichen" Mengen garantiert.

Insgesamt hat man also, dass es auch unendliche Mengen mit verschiedenen Mächtigkeiten geben muss. Zu jeder Menge gibt es eine mächtigere Menge.

In der Mengenlehre werden viele unendliche Mengen definiert und oft stellt sich die Frage wie es mit den Mächtigkeiten aussieht.

Die in dem Artikel verglichenen Mengen gehören aber zu den unbekannteren und unbedeutenderen Mengen.
Darum ist die nun bekannt gewordene Beziehung keine Sensation.

MfG
egonotto

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