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THEMA: Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal)

Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal) 29 Jan 2018 21:49 #26815

Warnung: Laie am Werk :D

In meinem jugendlichen Leichtsinn habe ich mich an der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal versucht. Die Lösung ist zwar unmöglich, aber ich hoffe heimlich auf einen guten Näherungswert.
Die konstruierte Seite scheint erfreulich nahe am tatsächlichen Wert. Die Skizze ist als Bild im Anhang.

Ich weiß folgende Dinge über den Würfel:

Punktsymmetrie zu M
Acht Ecken
Zwölf gleich lange Kanten
Lässt sich aufteilen in sechs qudratische Pyramiden
Doppelte Kantenlänge = Achtfaches Volumen


Der Grundgedanke war folgender:

Der einzige Punkt, der unverändert bleibt ist M. Wenn ich mir vorstelle das Volumen des Würfels über alle acht Ecken zu vergrößern, dann bewegen
sich die Ecken auf der Verlängerung der Raumdiagonalen. Volumen erst verachtfachen, dann vierteln.

Mit Zirkel und Lineal konstruiere ich erstmal einen Würfel, wobei der Radius (r) die Kantenlänge (a) definiert.
Die Ecken der Grundfläche sind A,B,C,D.
Die der Deckfläche E,F,G,H.
Über die Raumdiagonalen (AG=d1), (BH=d2) und (EC=d3) markiere ich den Punkt M.
Die Diagonalen sollen über die Ecken hinausgehen.
Die Geraden (AM;BM;CM;DM) markieren die quadratische Pyramide der Grundfläche.

Den Zirkel stelle ich auf die Länge (AM) ein und markiere auf der Verlängerung d1 bei A den Punkt A'.
Den Zirkel stelle ich auf die Länge (MB) ein und markiere auf der Verlängerung d2 bei B den Punkt B'.
Ich verbinde die Punkte A' und B' miteinander was 2a entspricht.

Jetzt die Gerade A_A' halbieren (AS1). Jetzt die Gerade A_AS1 halbieren (AS2).

Jetzt die Gerade B_B' halbieren (BS1). Jetzt die Gerade B_BS1 halbieren (BS2).

Die Gerade AS2_BS2 entspricht (ungefähr?) der Seitenlänge des doppelten Volumens.



Die Gerade AS1_AS2 halbieren (AS3), dann AS1_AS3 halbieren (AS4).
Die Gerade BS1_BS2 halbieren (BS3), dann BS1_BS3 halbieren (BS4).

Die Gerade AS4_BS4 entspricht (ungefähr?) der Seitenlänge des dreifachen Volumens.


Jetzt die Frage aller Fragen.....ergibt das einen Sinn was ich da
fabriziert habe oder bin ich einer Illusion zum Opfer gefallen? Freue mich über Meinungen.

Nur weil es heute so ist, heißt es nicht, dass es immer so bleibt.
Unvorstellbar heißt nicht unmöglich.
Und die Moral von der Geschicht: Moral wird beliebig, sobald es einen selbst betrifft.
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Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal) 04 Feb 2018 20:31 #27228

Niemand?

Bin ich in diesem Forumteil überhaupt richtig mit meinem Anliegen?

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Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal) 24 Feb 2018 23:20 #28563

Hallo, ich denke auch, dass die Frage hier irgendwie falsch aufgehoben ist, ein Admin kann sie ja verschieben...

Zur Frage:
Ich denke du machst dir das Leben unnötig schwer.
Ich würde vorschlagen, du drehst deinen Würfel so, dass du frontal auf eine der Flächen schaust, dann solltest du nur noch ein Quadrat sehen. Alles andere ist natürlich noch da, aber durch die "schlaue" Wahl des Blickwinkels, rein zufällig verdeckt bzw. identisch mit etwas äquivalentem aus dem Vordergrund. So spart man sich Zeichenarbeit ;-)

Unabhängig davon: So wie du die Konstruktion der "halbierenden Punkten ASx, BSx, ..." beschreibst, entspricht die Kantenlänge von "von halbieren Punkten gebildeten Würfeln" immer der "durchschnittlichen Kantenlänge der beiden ursprünglichen Würfel".
Würfel: A,B,... hat Kantenlänge a=1 und Volumen V=1
Würfel: A',B',... hat Kantenlänge a'=2 und Volumen V'=8
Soweit die Ausgangsbasis, jetzt machen wir die "halbierenden Punkte" und kommen zu:
Würfel: AS1, BS1,... hat Kantenlänge aS1=(a+a')/2=(1+2)/2=1,5 und Volumen VS1=1,53=3,375 (ich weiß, den Würfel hattest du nicht)
Und weil's so schön war, gleich nochmal:
Würfel: AS2, BS2,... hat Kantenlänge aS2=(a+aS1)/2=(1+1,5)/2=1,25 != (2*V)1/3=1,2599....
q.e.d.-1 sozusagen ;-)
Der Vollständigkeit halber: Volumen VS2=1,253=1,953125

Ich würde also sagen "das ergibt keinen Sinn was du da fabrizierst hast und du bist einer Illusion zum Opfer gefallen!" -- um es (fast) in deinen Worten auszudrücken ;-)
Folgende Benutzer bedankten sich: kazuhiko

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Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal) 25 Feb 2018 14:53 #28595

franzgeorg schrieb: Hallo, ich denke auch, dass die Frage hier irgendwie falsch aufgehoben ist, ein Admin kann sie ja verschieben...


Schon geschehn., kein Problem.

assume good faith

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assume good faith

Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal) 28 Feb 2018 00:49 #28734

Juhu eine Antwort! Ja vielen Dank fürs Aufklären. Wieder ein Stückchen schlauer.

Ich muss zugeben es hat verdammt viel Spaß gemacht mir das Leben damit schwer zu machen und die Illusion war eine Freude solange sie da war. Jetzt kann es weiter gehen.

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Würfelverdoppelung (Zirkel_Lineal) 06 Mär 2018 22:55 #29004

Wenn du die Strecke A-A' in drei teilen könntest, dann wäre der kleinste Würfel, der der durch die inneren Teilungspunkte aufgespannt wird, der mit doppeltem Volumen. Der Würfel durch die äußeren Teilungspunkte hätte vierfaches Volumen, und der durch A' hat ja achtfaches, usw.

Die Frage, ob man eine Strecke, z.B. A-A', mit Zirkel und Lineal nicht nur halbieren sondern auch dritteln kann, haben sich schon die Griechen gestellt. Irgendwann im 16.,17. oder 18 Jhrd. hat dann einer bewiesen, dass dritteln nicht möglich ist. Pech gehabt.

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