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THEMA: Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch

Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch 30 Jan 2019 04:14 #47987

Hallo allerseits,

dies ist mein erster Beitrag hier, also fange ich mal stürmisch an. Mein Anliegen ist es, spaßeshalber eine bestimmte Situation in der Fernsehserie Doctor Who nachzurechnen, habe es aber aber nicht hinbekommen und frage daher hier mal nach.

In der Episode World Enough and Time trifft der Doctor auf ein riesiges Kolonistenraumschiff, welches ins Gravitationsfeld eines schwarzen Lochs geraten ist und gerade genug Energie aufwenden kann, um sich langsam im Rückwärtsgang davon zu lösen. Die Brücke zeigt in Richtung des schwarzen Lochs, während das Heck 'weit' entfernt davon ist. Thematisch ist in dieser Folge der Zeitunterschied zwischen Bug und Heck. Folgende spärliche Eckdaten sind gegeben:

  • Das Raumschiff ist 300 miles lang.
  • Auf der Brücke, Deck 0000, sind 2 Tage, 10 Stunden, 17 Minuten und 26 Sekunden vergangen.
  • Auf dem untersten Deck, 1056, sind 365034 Tage, 12 Stunden, 23 Minuten und 17 Sekunden vergangen.

Also scheint sich die Zeit um einen Faktor von gerundet 151049 auf Deck 0000 zu verzögern, richtig?

Wenn wir nun die Zeitdilatation und die Länge des Raumschiffs haben, können wir auf die Eigenschaften des schwarzen Lochs schließen? Oder haben die Drehbuchschreiberlinge einfach irgendwelche dramatisierten Zahlen hineingeworfen, um ihre Geschichte erzählen zu können?

Ich wäre sehr erfreut, falls mir das jemand vorrechnen könnte, weil ich es zum einen gut finde, dass solche Phänomene im Genre des SciFi mal wieder aufgegriffen werden.

Viele Grüße,
Das spartanische Spielkalb

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Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch 30 Jan 2019 06:08 #47988

Der benötigte Abstand ist von der Masse M des schwarzen Lochs abhängig, oder umgekehrt. Leider weiß ich nicht welches von den beiden in der Episode gegeben ist, aber die Zahlen kannst du dann ja später selbst einsetzen. Prinzipiell gibt es für jede gegebene Masse einen passenden Abstand, und im Umkehrschluss auch zu jedem gegebenen Abstand eine passende Masse. Der erste von der Raumschiffkoordinatenlänge L unabhängige Überschlag für die Koordinatenhöhe h über dem Horizont unter der Assumption dass L»rs lautet in Schwarzschildkoordinaten

\( {\rm h \approx \frac{r_s}{\bar{t}^2-1}} \)

Dabei ist t̅ der Zeitdilatationsfaktor zwischen den beiden Enden des Schiffs und der Schwarzschildradius rs =2GM/c². Wenn wir

\( g^{\rm tt}({\rm r})=\frac{1}{1-\rm r_s/r} \ , \ \sqrt{\frac{g^{\rm tt}(\rm r)}{g^{\rm tt}(\rm r+L)}}=\bar{\rm t} \)

setzen erhalten wir mit r=h+rs

\( {\rm \bar{t} = \frac{r \sqrt{\frac{r-{r_s}}{r}} \sqrt{\frac{L+r-{r_s}}{L+r}}}{r-{r_s}}} \)

Das lösen wir auf und erhalten die Lösung für h bei berücksichtigtem L:

\( {\rm h = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\bar{t}^2 L^2+2 \bar{t}^2 {r_s} L+\bar{t}^2 {r_s}^2-L^2+2 {r_s} L-{r_s}^2}{\bar{t}^2-1}}+\frac{{r_s}-L}{2}-{r_s}} \)

Die Gegenbeschleunigung die du am tiefsten Punkt liefern musst um stationär zu bleiben ist

\( { \rm g = \sqrt{\frac{G M}{(r_s+h)^2}}/\sqrt{1-\frac{r_s}{r_s+h}}} \)

Der analytischen Lösbarkeit wegen haben wir L und h in Schwarzschildkoordinaten angegeben, die lokal aufintegrierte physikalische Länge ℓ des Raumschiffs ist dann

\( { l = \rm \int_{\rm h+r_s}^{\rm h+L+r_s} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\rm r_s}{\rm r}}} \, dr = \rm\frac{\sqrt{\frac{h+L+{r_s}}{h+L}} \left((h+L) \sqrt{h+L+{r_s}}+{r_s} \sqrt{h+L} \ln \left(\sqrt{h+L+{r_s}}+\sqrt{h+L}\right)\right)}{\sqrt{h+L+{r_s}}}-\frac{\sqrt{\frac{h+{r_s}}{h}} \left(h \sqrt{h+{r_s}}+{r_s} \sqrt{h} \ln \left(\sqrt{h+{r_s}}+\sqrt{h}\right)\right)}{\sqrt{h+{r_s}}}} \)

Jetzt brauchst du nur noch die numerischen Werte für die Konstanten G und c und deine gewünschten Zahlen für M, t̅ und L in die Formeln einsetzen und das in deinen Rechner eingeben damit du h, g und ℓ erhältst.

Bei einem schwarzen Loch von einer Million Sonnenmassen müsste das unterste Ende bei h=r-rs =8.6e-10m Koordinatenhöhe über dem Horizont schweben, die lokalen ℓ=300mi=482.8km Raumschifflänge wären dann im System des weit entfernten Buchhalters auf L=19.62m Koordinatenlänge kontrahiert. Die Schwerkraft am unteren Ende des Schiffs wäre g=4e17m/sek² (siehe Rechnung A).

Sind es 5 Sonnenmassen wäre das unterste Ende bei h=6.3e-7m, und die ℓ=300mi Ruhelänge des Raumschiffs wäre auf L=273mi Koordinatenlänge kontrahiert. Die maximale Schwerkraft wäre g=3e13m/sek² (siehe Rechnung B).

Vorrechnend,

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Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch 01 Feb 2019 00:41 #48122

thema

Yukterez schrieb: Vorrechnend,


Vielen, vielen Dank fürs Vorrechnen in deiner raschen und ausgesprochen ausführlichen Antwort!

Yukterez schrieb: Der benötigte Abstand ist von der Masse M des schwarzen Lochs abhängig, oder umgekehrt. Leider weiß ich nicht welches von den beiden in der Episode gegeben ist, aber die Zahlen kannst du dann ja später selbst einsetzen. Prinzipiell gibt es für jede gegebene Masse einen passenden Abstand, und im Umkehrschluss auch zu jedem gegebenen Abstand eine passende Masse.


Dummerweise wird in der Episode weder die Masse noch der Abstand genannt; die im Ausgangspost genannten Daten sind alles. Von daher finde ich es super, dass du mir noch die beiden Beispiele mit der millionen- und fünffachen Sonnenmasse geliefert hast. Wenn ich's recht verstanden habe, würden in beiden Fällen die auftretenden g's alles platt machen. Eine Beschleunigung von g=3e13m/sek² scheint mir schwer verdaulich zu sein.

Mittlerweile habe ich mir noch ein paar mehr Videos aus diesem Kanal angesehen, zu SRT, ART und die von Andreas Müller zum Thema der schwarzen Löcher. Daraus habe ich entnommen, dass sich die letzteren immer drehen, und zwar rasant. Wie wäre es nun, wenn wir das Raumschiff in einem konstanten Orbit mitdrehen ließen, und zwar auch mit einer Geschwindigkeit von über 0.2c, so dass die SRT ins Spiel käme?

Könnte man unter diesen Voraussetzungen ein Szenario konstruieren, in welchem solch ein Raumschiff so lang ist, dass die Brückencrew – am nächsten zum schwarzen Loch – sich noch Gedanken macht, wie sie der Situation entfliehen können, während im hinteren Teil sich schon die weiteren Generationen der Urenkel bilden?

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Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch 02 Feb 2019 17:51 #48212

Wenn du das Raumschiff stationär um ein rotierendes schwarzes Loch halten willst ersetze die kontravariante Schwarzschild Zeitkomponente

\( g^{\rm tt}({\rm r})=\frac{1}{1-\rm r_s/r} \ , \ \sqrt{\frac{g^{\rm tt}(\rm r)}{g^{\rm tt}(\rm r+L)}}=\bar{\rm t} \)

durch die inverse kovariante Zeitkomponente der Kerr Metrik

\( g_{\rm tt}({\rm r, \theta, a})=1-\frac{\rm r_s r}{\rm a^2 \cos ^2 \theta +r^2} \ , \ \sqrt{\frac{g_{\rm tt}(\rm r+L, \theta, a)}{g_{\rm tt}(\rm r, \theta, a)}}=\bar{\rm t} \)

womit sich

\( { l = \int_{\rm h+r_s}^{\rm h+L+r_s} \sqrt{1/g^{\rm rr} (\rm r)} \, {\rm dr} = \rm \int_{\rm h+r_s}^{\rm h+L+r_s} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\rm r_s}{\rm r}}} \, dr } \)

auf

\( { l = \int_{\rm h+r_s}^{\rm h+L+r_s} \sqrt{g_{\rm rr}(\rm r,\theta,a)} \, {\rm dr} = \rm \int_{\rm h+r_s}^{\rm h+L+r_s} \sqrt{{\rm \frac{\rm a^2 \cos ^2 \theta+r^2}{\rm a^2+r^2-r_s r}}} \, dr } \)

erweitert und auf der äquatorialen Ebene auf

\( l = {\rm \sqrt{a^2+(h+L) (h+L+{r_s})}+\frac{{r_s}}{2} \ln \left(2 \sqrt{a^2+(h+L) (h+L+{r_s})}+2 h+2 L+{r_s}\right)- {...}} \)

\( {\rm {...} \ \sqrt{a^2+h (h+{r_s})}-\frac{{r_s}}{2} \ln \left(2 \sqrt{a^2+h (h+{r_s})}+2 h+{r_s}\right)} \)

reduziert. Dann wird der Ort der stärksten Zeitdilatation im Bereich knapp außerhalb der Ergosphäre sein. Da gibt es ebenfalls für jedes gewünschte t̅ einen passenden Abstand. Die Formel für h bleibt so lange man sich auf die äquatoriale Ebene beschränkt die gleiche wie oben, nur dass sich bei a≠0 bei r=rs nicht mehr der Horizont, sondern die Ergosphäre befindet. Die lokale Frame Dragging Geschwindigkeit ist

\( \rm {\hat{\hat{v}}^{\phi}}({\rm r, \theta, a})= \frac{ c \ a \ r_s r \sin \theta \sqrt { \left(\frac{2 r_s r \left(a^2+r^2\right)}{a^2 \cos (2 \theta )+a^2+2 r^2}+a^2+(r-r_s) r\right)\left(\frac{2 r_s r \left(a^2+r^2\right)}{\left(a^2+(r-2) r \right) \left(a^2 \cos (2 \theta )+a^2+2 r^2\right)}+1 \right) } }{a^2 \left(a^2+(r-r_s) r\right) \sin ^2 \theta -\left(a^2+r^2\right)^2} \)

Wird diese zwischen den beiden Enden des Raumschiffs größer als c zerreißt es das Raumschiff, egal wie stabil es gebaut ist. Wenn du es uhrzeigerförmig mit dem schwarzen Loch korotieren lässt kann die Winkelgeschwindigkeit die dem Raumschiff am unteren Ende aufgezwungen wird so hoch werden dass das obere Ende des Raumschiffs lokale Überlichtgeschwindigkeit benötigen würde um der Korotation des unteren Endes zu folgen, was sogar noch früher zu einem Hüllenbruch führen würde.

Die Zeitdilatation zwischen dem unteren und oberen Deck würde maximal sobald die Lokalgeschwindigkeit eines der Decks relativ zu einem örtlichen ZAMO auf c zugeht. Das Raumschiff würde sich wenn es nicht auch kontinuierlich seitlich beschleunigt aber von der vertikalen in die horizontale Ausrichtung neigen. Um vertikal ausgerichtet zu bleiben kostet es weniger Energie komplett stationär zu bleiben als das obere Ende des Raumschiffs auf der gleichen Winkelgeschwindigkeit zu halten wie das untere.

Auf kerr.yukterez.net findest du alles nötige Werkzeug um solche Dinge auszurechnen, aber wenn die Frage nur die ist ob so eine starke Zeitdilatation auch bei rotierenden schwarzen Löchern prinzipiell möglich ist kann ich die auch ohne eine passende Kombination aus den drei freien Parametern r, θ und a zusammenzubasteln kategorisch mit ja beantworten.

Bejahend,

Folgende Benutzer bedankten sich: Spartanisches Spielkalb

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Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch 03 Feb 2019 01:14 #48238

Da muss ich ganz ehrlich gestehen, dass ich mit den mathematischen Formeln überfordert bin. Soweit ist mir zwar noch klar, dass du für mich die Gleichungen nach den Variablen aufgelöst hast, die mich interessieren, aber die Ausführung der Rechnung zwingt mich zu Boden. Deine Website bzw. dein Forum habe ich mir angeschaut, sehr gut gemacht! Nur habe ich zur Zeit kein Programm, worin in ich deine Codes eingeben könnte. Kannst du mir eins vorschlagen, worin ich nur die Parameter justieren müsste, damit ich zum zum gewünschten Resultat gelänge?

Mir ging es schlicht um die Frage, in dieser SciFi-Folge die Komponenten Wissenschaft und Fiktion einander abzuwägen. In der Episode landen unsere Zeit/Raum-Reisenden spontan auf der Brücke des Schiffs und stellen fest, dass es quasi schon 'ewig' dort fest hängt, während im Heck sich die Bevölkerung vermehrt und von Ackerbau auf ihren Farmen ernährt.

Nun gut, immerhin schön zu sehen, dass immerhin mit dem Gedanke der gravitativen Zeitdilatation gespielt worden ist, selbst wenn die gegebenen absoluten Werte und Parameter nicht haltbar sind.

Dankend,
Spielkalb

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Doctor Who (10x11)- Zeitdilatation am schwarzem Loch 03 Feb 2019 01:28 #48240

Spartanisches Spielkalb schrieb: Kannst du mir eins vorschlagen, worin ich nur die Parameter justieren müsste, damit ich zum zum gewünschten Resultat gelänge?

Das können eh so gut wie alle Mathematikprogramme in denen man eigene Funktionen definieren und integrieren kann.

Spartanisches Spielkalb schrieb: Mir ging es schlicht um die Frage, in dieser SciFi-Folge die Komponenten Wissenschaft und Fiktion einander abzuwägen. In der Episode landen unsere Zeit/Raum-Reisenden spontan auf der Brücke des Schiffs und stellen fest, dass es quasi schon 'ewig' dort fest hängt, während im Heck sich die Bevölkerung vermehrt und von Ackerbau auf ihren Farmen ernährt.

Vom wissenschaftlichen Standpunkt ist das nicht wasserdicht, denn die Leute im oberen Teil des Schiffs würden die Leute im unteren Teil des Schiffs nicht nur verlangsamt, sondern auch deren Licht um den selben Faktor rotverschoben sehen, womit das Licht schon lange nicht mehr im sichtbaren Bereich des Spektrums wäre. Von den hohen g-Kräften ganz zu schweigen, aber das liegt wohl vor allem daran dass die neuen Autoren von Dr. Who keine Science Fiction Erfahrung haben und nicht an solche Details gedacht haben.

Mehrere Plotholes feststellend,

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